Определение модуля действительного числа. Как раскрыть модуль действительного числа и что это такое

§ 1 Модуль действительного числа

В этом уроке изучим понятие «модуль» для любого действительного числа.

Выпишем свойства модуля действительного числа:

§ 2 Решение уравнений

Используя геометрический смысл модуля действительного числа, решим несколько уравнений.

Следовательно, уравнение имеет 2 корня: -1 и 3.

Таким образом, уравнение имеет 2 корня: -3 и 3.

На практике используют различные свойства модулей.

Рассмотрим это в примере 2:

Таким образом, в данном уроке Вы изучили понятие «модуль действительного числа», его основные свойства и геометрический смысл. А также решили несколько типовых задач на применение свойств и геометрического представления модуля действительного числа.

Список использованной литературы:

Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для обще образовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – 215с.: ил.
Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.. – 8-е изд., – М.: Мнемозина, 2006. – 239с.
Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для учащихся образовательных учреждений Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 40с.
Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова, под ред. А.Г. Мордковича, 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2013. - 112с.

Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль :

если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим:

(Забыл, Повтори.)

Если, то какой знак имеет? Ну конечно, !

А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

Разобрался? Тогда попробуй сам:

Ответы:

Какими же ещё свойствами обладает модуль?

Если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел!!!

Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

Например:

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля?

Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:

при условии, что (так как на ноль делить нельзя).

Стоит запомнить ещё одно свойство модуля:

Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:

Почему так? Всё очень просто!

Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное. Допустим, что числа и оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению.

Рассмотрим на примере:

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:

Вроде с этим свойством все ясно, рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля.

Что если перед нами такое выражение:

Что мы можем сделать с этим выражением? Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что, а значит.

Число больше нуля, а значит можно просто записать:

Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:

А чему равно такое выражение:

Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?

Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему . И что же получается? А вот что:

Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:

Ну, и почему сомнения? Действуем смело!

Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!

1. Найдите значение выражения, если.

2. У каких чисел модуль равен?

3. Найдите значение выражений:

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Решение 1 :

Итак, подставим значения и в выражение

Решение 2:

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное имеют два числа: и.

Решение 3:

а)
б)
в)
г)

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Попробуем упростить выражение

Решение:

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное , то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.

Но если под знаком модуля отрицательное число , то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «-»).

Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

Получается, значение первого выражения под модулем.

Следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго - положительно:

Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «-». Вот так:

Во втором случае просто отбросим знак модуля:

Упростим данное выражение целиком:

Модуль числа и его свойства (строгие определения и доказательства)

Определение:

Модуль (абсолютная величина) числа - это само число, если, и число, если:

Например:

Пример:

Упростите выражение.

Решение:

Основные свойства модуля

Для всех:

Пример:

Докажите свойство №5 .

Доказательство:

Предположим, что существуют такие, что

Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны ):

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких не существует, а значит, при всех выполняется неравенство

Примеры для самостоятельного решения:

1) Докажите свойство №6 .

2) Упростите выражение.

Ответы:

1) Воспользуемся свойством №3 : , а поскольку, тогда

Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем?

a. Сравним числа и и:

b. Теперь сравним и:

Складываем значения модулей:

Модуль числа. Коротко о главном.

Модуль (абсолютная величина) числа - это само число, если, и число, если:

Свойства модуля:

Модуль числа есть число неотрицательное: ;
Модули противоположных чисел равны: ;
Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: ;
Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: ;
Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел: ;
Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: при;

Множества. Операции над множествами. Числовые множества

Глава III. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение множества не дается. Это понятие первичное, неопределяемое. Необходимость таких понятий вызвана тем, что любое понятие определяется через какое-то другое понятие, введенное ранее, которое в свою очередь определяется через понятие, введенное еще раньше. Ясно, что продолжать этот процесс бесконечно мы не можем, поэтому надо ввести неопределяемое понятие. В школе такими понятиями были, кроме понятия множества, понятия точки, прямой и плоскости. Понятие множества поясняется на примерах. Множество считается заданным, если указаны элементы, из которых оно состоит.

Например, множество натуральных чисел N = {1;2;…;n ;…}, множество А = {2;5;7}, множество С студентов группы ФМО–11, и т.д.

Тот факт, что число 2 принадлежит множеству А , записывается короче так: , а то, что стол не принадлежит множеству А , следующим образом: стол , или, например, .

Определение 1. Множество называется конечным , если оно состоит из конечного числа элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ø.

Конечное множество можно задать перечислением всех его элементов. Например, множество студентов группы ФМО–11 задается списком в журнале, множество А задано перечислением всех его элементов – чисел 2, 5 и 7. Множество N натуральных чисел – бесконечное.

Определение 2. Множества называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, равны множества А = {2;5;7} и В = {5;7;2}. Все пустые множества равны между собой.

Определение 3. Множество называется подмножеством (или частью ) множества , если из того, что элемент следует, что : . Записывается это так: .

Например, . Пустое множество – часть любого множества.

Множества могут быть и несравнимыми. Таковы, например, множества А и С , так как ни одно из этих множеств не является подмножеством другого множества.

Определение 4. Объединением двух множеств и называется множество Е , состоящее из всех элементов множеств и и только из них: .

Например, если , то , .

Определение 5. Пересечением множеств и называется множество Е , состоящее из всех общих элементов множеств и : .

Например, для рассмотренных выше множеств и , .

Определения 4 и 5 переносятся на любое конечное число множеств. Например, , где . С помощью метода математической индукции эти определения можно перенести и на бесконечное число множеств.

Определение 6. Разностью множеств и называется множество вех элементов множества , не принадлежащих множеству : .

Например, {1;2;3;4}{4;5;6}={1;2;3}, А N = ø.

В математическом анализе мы будем иметь дело, в основном, с множествами

действительных чисел. Из школьного курса математики известны множества натуральных чисел N = {1;2;…;n ;…}, целых чисел , рациональных чисел , иррациональных чисел I . Известно также, что множество всех действительных чисел R = . В высшей математике имеютсястрогие теории действительных чисел, например, теория Дедекинда (1831-1916, немецкий математик), из которой получаются свойства множества R действительных чисел, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем: упорядоченность по величине, плотность, усиленная плотность, непрерывность (или полнота).

Упорядоченность по величине множества R : для любых двух действительных чисел и имеет место одно и только одно из соотношений: .

Плотность множества R : между любыми двумя различными действительными числами содержится действительное число.

Усиленная плотность множества R : между любыми двумя различными действительными числами содержится рациональное число.

Непрерывность (полнота) множества R : для любой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, принадлежащее всем отрезкам данной системы. Если длины вложенных отрезков стремятся к нулю при , то существует единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам. Это свойство называется также принципом вложенных отрезков Кантора (Георг Кантор (1845-1918), немецкий математик).

При аксиоматическом определении множества действительных чисел свойства упорядоченности по величине и непрерывности (полноты) включаются в число аксиом.

Действительные числа изображаются, как известно, точками числовой прямой, причем каждому действительному числу соответствует одна точка числовой прямой и обратно, каждой точке числовой прямой соответствует только одно действительное число. Как говорят, установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством точек числовой прямой и множеством действительных чисел.

Из школьного курса математики известны также некоторые специальные числовые множества: - интервал (открытый промежуток), - отрезок (замкнутый промежуток), =- полуинтервалы (открытый справа и слева соответственно), - вся числовая прямая, - лучи. Нам потребуется в дальнейшем еще понятие окрестности точки.

Определение 7. Если а – некоторое действительное число, - любое положительное действительное число, то интервал называется - окрестностью точки а . Точка а называется центром окрестности, а число - радиусом окрестности. Множество называется проколотой - окрестностью точки а .

Определение 8. Множество Е действительных чисел называется ограниченным сверху (соответственно, ограниченным снизу ), если существует число М , такое, что для любого имеет место неравенство (соответственно, ). Число М называется верхней (соответственно, нижней ) границей (или гранью) множества Е . Множество Е называется ограниченным , если существуют такие числа и , что для любого числа имеет место двойное неравенство .

Например, множество правильных дробей ограничено сверху числом 1, множество N натуральных чисел ограничено снизу числом 1, множество ограничено, так как .

Заметим, что если М – верхняя граница непустого ограниченного сверху числового множества Е , то любое число, большее М , также будет его верхней границей, то есть у Е есть бесконечное множество верхних границ. Из всех верхних границ множества Е наибольший интерес представляет его наименьшая верхняя граница.

В школе на уроке математики каждый год ученики разбирают новые темы. 6 класс обычно изучает модуль числа – это важное понятие в математике, работа с которым встречается далее в алгебре и высшей математики. Очень важно изначально правильно понять объяснение термина и разобраться в этой теме, чтобы успешно проходить прочие темы.

Для начала следует понимать, что абсолютная величина – это параметр в статистике (измеряется количественно), который характеризует изучаемое явление по его объему. При этом явление должно осуществляться в определенных временных рамках и с определенным месторасположением. Различают значения:

суммарные – подходят для группы единиц или полностью всей совокупности;
индивидуальные – подходят только для работы с единицей некой совокупности.

Понятия широко используются в статистических измерениях, результатом которых являются показатели, характеризующие абсолютные размеры у каждой единицы некоего явления. Измеряются они в двух показателях: натуральном, т.е. физические единицы (шт., люди) и условно-натуральном. Модуль в математике является отображением данных показателей.

Что такое модуль числа?

Важно! Данное определение «module» с латыни переводиться как «мера» и означает абсолютную величину любого натурального числа.

Но у данного понятия есть и геометрическое объяснение, поскольку модулю в геометрии равняется расстояние от начала системы координат до точки X, которое измеряется в привычных единицах измерения.

Для того, чтобы определить данный показатель у числа, следует не учитывать его знак (минус, плюс), но при этом следует помнить то, что он никогда не может быть отрицательным. Данное значение на бумаге выделяется графически в виде квадратных скобок — |a|. При этом, математическое определение такое:

|х| = х, если х больше или равен нулю и -х, если меньше нуля.

Английский ученый Р. Котес был тем человеком, кто впервые применил данное понятие в математических расчетах. А вот К. Вейерштрасс, математик из Германии, придумал и ввел в использование графический символ.

В геометрии module можно рассмотреть на примере координатной прямой, на которое нанесены 2 произвольные точки. Предположим, одна — А имеет значение 5, а вторая В - 6. При подробном изучении чертежа станет ясно, что расстояние от А до В – 5 единиц от нуля, т.е. начала координат, а точка В размещена от начала координат на 6 единиц. Можно сделать вывод, что module точки, А = 5, а точки В = 6. Графически это можно обозначить так: | 5 | = 5. Т. е. расстояние от точки до начала координат является модулем данной точки.

Полезное видео: что такое модуль действительного числа?

Свойства

Как у любого математического понятия, у module есть свои математические свойства:

Он всегда положительный, поэтому модулем положительного значения будет оно само, например, модуль числа 6 и -6 равен 6. Математически это свойство можно записать как |a| = a, при a> 0;
Показатели противоположных чисел равны между собой. Это свойство понятнее в геометрическом изложении, поскольку на прямой данные числа располагаются в разных местах, но при этом от начала отсчета их отделяет равное количество единиц. Математически это записывается так: |а| = |-а|;
Модуль нуля равен нулю, при условии, что действительное число – это ноль. Это свойство подтверждается тем фактом, что ноль является началом координат. Графически это записывают так: |0| = 0;
Если требуется найти модуль двух умножающихся цифр, стоит понимать, что он будет равен полученному произведению. Другими словами, произведение величин А и В = АВ, при условии, что они положительные или же отрицательные, и тогда произведение равняется -АВ. Графически это можно записать как |А*В| = |А| * |В|.

Успешное решение уравнений с модулем зависит от знания данных свойств, которое поможет любому правильно вычислять и работать с данным показателем.

Свойства модуля

Важно ! Показатель не может быть отрицательным, поскольку он определяет расстояние, которое всегда положительное.

В уравнениях

В случае работы и решения математических неравенств, в которых присутствует module, всегда необходимо помнить, что для получения итогового правильного результата следует раскрыть скобки, т.е. открыть знак module . Зачастую, в этом и есть смысл уравнения.

При этом стоит помнить, что:

если в квадратных скобках записано выражение, его необходимо решить: |А + 5| = А + 5, при А больше или равным нулю и 5-А, в случае А меньше нуля;
квадратные скобки чаще всего должны раскрываться независимо от значений переменной, например, если в скобках заключено выражение в квадрате, поскольку при раскрытии в любом случае будет положительное число.

Очень легко решаются уравнения с module путем занесения значений в систему координат, поскольку тогда легко увидеть визуально значения и их показатели.

Полезное видео: модуль действительного числа и его свойства

Вывод

Принцип понимания такого математического понятия, как module, крайне важен, поскольку оно используется в высшей математике и прочих науках, поэтому необходимо уметь работать с ним.

Вконтакте

Ваша цель:

четко знать определение модуля действительного числа;

понимать геометрическую интерпретацию модуля действительного числа и уметь применять ее при решении задач;

знать свойства модуля и уметь применять при решении задач;

уметь представление о расстоянии между двумя точками координатной прямой и уметь использовать его при решении задач.

Входная информация

Понятие модуля действительного числа. Модулем действительного числа называют само это число , если , и противоположны ему число , если < 0.

Модуль числа обозначают и записывают:

Геометрическая интерпретация модуля . Геометрически модуль действительного числа есть расстояние от точки, изображающей данное число на координатной прямой, до начала отсчета.

Решение уравнений и неравенств с модулями на основе геометрического смысла модуля . Пользуясь понятием «расстояние между двумя точками координатной прямой» можно решать уравнения вида или неравенства вида , где вместо знака может стоять любой из знаков .

Пример. Решим уравнение .

Решение. Переформулируем задачу геометрически. Поскольку -это расстояние на координатной прямой между точками с координатами и , значит, требуется найти координаты таких точек, расстояние от которых до точек с координатой 1 равно 2.

Короче, на координатной прямой найти множество координат точек, расстояние от которых до точки с координатной 1 равно 2.

Решим эту задачу. Отметим на координатной прямой точку, координата которой равна 1 (рис. 6) На две единицы от этой точки удалены точки, координаты которых равны -1 и 3. Значит, искомое множество координат точек есть множество, состоящее из чисел -1 и 3.

Ответ: -1; 3.

Как найти расстояние между двумя точками координатной прямой. Число, выражающее расстояние между точками и , называют расстоянием между числами и .

Для любых двух точек и координатной прямой расстояние

Основные свойства модуля действительного числа:

3. ;

7. ;

8. ;

9. ;

При имеем:

11. тогда только тогда, когда или ;

12. тогда только тогда, когда ;

13. тогда только тогда, когда или ;

14. тогда только тогда, когда ;

11. тогда только тогда, когда .

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

1. Раскройте знак модуля:

а) |–5|; б) |5|; в) |0|; г) |p|.

2. Сравните между собой числа:

а) || и –; в) |0| и 0; д) – |–3| и –3; ж) –4|а | и 0;

б) |–p| и p; г) |–7,3| и –7,3; е) |а | и 0; з) 2|а | и |2а |.

3. Как при помощи знака модуля записать, что по крайней мере одно из чисел а , b или с отлично от нуля?

4. Как при помощи знака равенства записать, что каждое из чисел а , b и с равно нулю?

5. Найдите значение выражения:

а) |а | – а ; б) а + |а |.

6. Решите уравнение:

а) |х | = 3; в) |х | = –2; д) |2х – 5| = 0;

б) |х | = 0; г) |х – 3| = 4; е) |3х – 7| = – 9.

7. Что можно сказать о числах х и у , если:

а) |х | = х ; б) |х | = –х ; в) |х | = |у |?

8. Решите уравнение:

а) |х – 2| = х – 2; в) |х – 3| =|7 – х |;

б) |х – 2| = 2 – х ; г) |х – 5| =|х – 6|.

9. Что можно сказать о числе у , если имеет место равенство:

а) ïх ï = у ; б) ïх ï = –у ?

10. Решите неравенство:

а) |х | > х ; в) |х | > –х ; д) |х | £ х ;

б) |х | ³ х ; г) |х | ³ –х ; е) |х | £ –х .

11. Укажите все значения а, для которых имеет место равенство:

а) |а | = а ; б) |а | = –а ; в) а – |–а | =0; г) |а |а = –1; д) = 1.

12. Найдите все значения b , для которых имеет место неравенство:

а) |b | ³ 1; б) |b | < 1; в) |b | £ 0; г) |b | ³ 0; д) 1 < |b | < 2.

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 2. Исходя из определения модуля действительного числа, решите уравнение:

Задание 4. Расстояние между точками, изображающими действительные числа α и β на координатной прямой, равно | α – β |. Пользуясь этим, решите уравнение.