Решение систем неравенств с двумя переменными. Неравенства с двумя переменными
, а тем более системы неравенств с двумя переменными , представляется достаточно сложной задачей. Однако есть простой алгоритм, который помогает легко и без особых усилий решать на первый взгляд очень сложные задачи такого рода. Попробуем в нем разобраться.
Пусть мы имеем неравенство с двумя переменными одного из следующих видов:
y > f(x); y ≥ f(x); y < f(x); y ≤ f(x).
Для изображения множества решений такого неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:
- Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.
- Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.
- Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией. А теперь рассмотрим несколько задач на эту тему.
Задача 1.
Какое множество точек задается неравенством x · y ≤ 4?
Решение.
1) Строим график уравнения x · y = 4. Для этого сначала преобразуем его. Очевидно, что x в данном случае не обращается в 0, так как иначе мы бы имели 0 · y = 4, что неверно. Значит, можем разделить наше уравнение на x. Получим: y = 4/x. Графиком данной функции является гипербола. Она разбивает всю плоскость на две области: ту, что между двумя ветвями гиперболы и ту, что снаружи их.
2) Выберем из первой области произвольную точку, пусть это будет точка (4; 2). Проверяем неравенство: 4 · 2 ≤ 4 – неверно.
Значит, точки данной области не удовлетворяют исходному неравенству. Тогда можем сделать вывод о том, что множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.
3) Так как неравенство нестрогое, то граничные точки, то есть точки графика функции y=4/x, рисуем сплошной линией.
Закрасим множество точек, которое задает исходное неравенство, желтым цветом (рис. 1).
Задача 2.
Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой
Решение.
Строим для начала графики следующих функций(рис. 2):
y = x 2 + 2 – парабола,
y + x = 1 – прямая
x 2 + y 2 = 9 – окружность.
Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.
1) y > x 2 + 2.
Берем точку (0; 5), которая лежит выше графика функции. Проверяем неравенство: 5 > 0 2 + 2 – верно.
Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы y = x 2 + 2, удовлетворяют первому неравенству системы. Закрасим их желтым цветом.
2) y + x > 1.
Берем точку (0; 3), которая лежит выше графика функции. Проверяем неравенство: 3 + 0 > 1 – верно.
Следовательно, все точки, лежащие выше прямой y + x = 1, удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их зеленой штриховкой.
3) x 2 + y 2 ≤ 9.
Берем точку (0; -4), которая лежит вне окружности x 2 + y 2 = 9. Проверяем неравенство: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неверно.
Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x 2 + y 2 = 9, не удовлетворяют третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности x 2 + y 2 = 9, удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их фиолетовой штриховкой.
Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром. Получаем следующую картинку (рис. 3).
Искомая область – это область, где все три раскрашенных области пересекаются друг с другом (рис. 4).
Вопросы к конспектам
Напишите неравенство, решением которого является окружность и точки внутри окружности: 
Найдите точки, являющиеся решением неравенства :
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)
Системы неравенств
с двумя переменными
К учебнику Ю.Н.Макарычева
Алгебра, 9 класс, Глава III §
учитель математики высшей категории
МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»
Оршанского района Республики Марий Эл
Решение системы неравенств
с двумя переменными
Решением системы неравенств с двумя переменными называется пара значений этих переменных, являющаяся как решением первого неравенства, так и второго неравенства системы.
(1; 2) – решение?
(2; 1) – решение?
(1; 2) – решение
(2; 1) –не решение
Изображение множества решений неравенства с двумя переменными на координатной плоскости
Парабола разбивает координатную плоскость на две области. Решением неравенства является область с точкой А.
Изображение множества решений системы неравенств с двумя переменными на координатной плоскости
Множеством решений системы неравенств с двумя переменными является пересечение множеств решений неравенств, входящих в систему. На координатной плоскости множество решений системы неравенств изображается множеством точек, являющихся общей частью множеств, представляющих собой решения каждого неравенства системы.
х = 2
- Построим прямую х = 2.
- Построим прямую у = -3.
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
у = -3
Решениями данной системы являются координаты точек пересечения множеств решений неравенств системы (прямой угол)
- Построим прямую 2у + 3х = 6
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
- Построим прямую у - 2х = -3
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
Решениями данной системы являются координаты точек пересечения множеств решений неравенств системы (угол)
- Построим прямую у = 2 х + 1
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
- Построим прямую у = 2 х - 1
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
Решениями данной системы являются координаты точек пересечения множеств решений неравенств системы (полоса)
- Построим окружность х 2 + у 2 = 1
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
- Построим прямую 2х + у = 0
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
Решениями данной системы являются точки полукруга
- Построим параболу у = (х - 1) 2 -2
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
- Построим окружность (х-1) 2 +(у+2) 2 =1
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
Решениями данной системы являются точки пересечения множеств решений неравенств системы
Изобразить множество точек, которые являются решениями системы и вычислить площадь получившейся фигуры
Неравенством с двумя переменными х и у называется неравенство вида:
(или знак )
где – некоторое выражение с данными переменными.
Решением неравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел при которой это неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Решением неравенства с двумя переменными является некоторое множество точек координатной плоскости.
Основным методом решений данных неравенств является графический метод. Он заключается в том, что строятся линии границ (если неравенство строгое, линия строится пунктиром). Уравнение границы получаем, если в заданном неравенстве заменяем знак неравенства на знак равенства. Все линии в совокупности разбивают координатную плоскость на части. Искомое множество точек, которое соответствует заданному неравенству или системе неравенств, можно определить, если взять контрольную точку внутри каждой области области.
Совокупность неравенств с двумя переменными имеет вид
Решением совокупности является объединение всех решений неравенств.
Пример 1.
Решить систему 
Решение. Построим в системе Оху соответствующие линии (рис.19):
Уравнение задает окружность с центром в точке О ¢(0; 1) и R = 2.
Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О (0; 0).
Найдем решения каждого из неравенств, входящих в систему. Первому неравенству соответствует область внутри окружности и сама окружность (в справедливости этого убеждаемся, если подставим в неравенство координаты любой точки из этой области). Второму неравенству соответствует область, расположенная под параболой.
Решение системы – пересечение двух указанных областей (на рис.19 показано наложением двух штриховок).
Задания
I уровень
1.1. Решить графически:
3) ; 4) 
;
5) ; 6) 
;
7) 
;
II уровень
2.1. Решите графически:
1) 
2)
2.2. Найдите количество целочисленных решений системы:
1) 2) 3) 
2.3. Найдите все целочисленные решения системы:
1) 
2)
3) 
2.4. Решите неравенство. В ответе укажите количество решений с двумя целочисленными координатами
Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Урок: Уравнения и неравенства с двумя переменными
Рассмотрим в общем виде уравнение и неравенство с двумя переменными.
Уравнение с двумя переменными;
Неравенство с двумя переменными, знак неравенства может быть любым;
Здесь х и у - переменные, р - выражение, от них зависящее
Пара чисел () называется частным решением такого уравнения или неравенства, если при подстановке этой пары в выражение получаем верное уравнение или неравенство соответственно.
Задача состоит в том, чтобы найти или изобразить на плоскости множество всех решений. Можно перефразировать данную задачу - найти геометрическое место точек (ГМТ), построить график уравнения или неравенства.
Пример 1 - решить уравнение и неравенство:
Иначе говоря, задача подразумевает найти ГМТ.
Рассмотрим решение уравнения. В данном случае значение переменной х может быть любым, в связи с этим имеем:
Очевидно, что решением уравнения является множество точек, образующих прямую
Рис. 1. График уравнения, пример 1
Решениями заданного уравнения являются, в частности, точки (-1;0), (0; 1), (х 0 , х 0 +1)
Решением заданного неравенства является полуплоскость, расположенная над прямой , включая саму прямую (см. рисунок 1). Действительно, если взять любую точку х 0 на прямой, то имеем равенство . Если же взять точку в полуплоскости над прямой, имеем . Если мы возьмем точку в полуплоскости под прямой, то она не удовлетворит нашему неравенству: .
Теперь рассмотрим задачу с окружностью и кругом.
Пример 2 - решить уравнение и неравенство:
Мы знаем, что заданное уравнение - это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1.
Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2
В произвольной точке х 0 уравнение имеет два решения: (х 0 ; у 0) и (х 0 ; -у 0).
Решением заданного неравенства является множество точек, расположенных внутри окружности, не учитывая саму окружность (см. рисунок 2).
Рассмотрим уравнение с модулями.
Пример 3 - решить уравнение:
В данном случае можно было бы раскрывать модули, но мы рассмотрим специфику уравнения. Несложно заметить, что график данного уравнения симметричен относительно обеих осей. Тогда если точка (х 0 ; у 0) является решением, то и точка (х 0 ; -у 0) - также решение, точки (-х 0 ; у 0) и (-х 0 ; -у 0) также являются решением.
Таким образом, достаточно найти решение там, где обе переменные неотрицательны, и взять симметрию относительно осей:
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3
Итак, как мы видим, решением уравнения является квадрат.
Рассмотрим так называемый метод областей на конкретном примере.
Пример 4 - изобразить множество решений неравенства:
Согласно методу областей, первым делом рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль. Это функция от двух переменных:
Аналогично методу интервалов, временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.
ОДЗ: , значит, ось х выкалывается.
Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:
Строим график функции.
Рис. 4. График функции , учитывая ОДЗ
Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой и ломаной . внутри ломаной находится область D 1 . Между отрезком ломаной и прямой - область D 2 , ниже прямой - область D 3 , между отрезком ломаной и прямой - область D 4
В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку.
В области возьмем точку (0;1). Имеем:
В области возьмем точку (10;1). Имеем:
Так, вся область отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.
В области возьмем точку (0;-5). Имеем:
Так, вся область положительна и удовлетворяет заданному неравенству.
Пусть f(x,y) и g(x, y) - два выражения с переменными х и у и областью определения Х . Тогда неравенства вида f(x, y) > g(x, y) или f(x, y) < g(x, y) называется неравенством с двумя переменными .
Значение переменных х, у из множества Х , при которых неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением и обозначается (x, y) . Решить неравенство - это значит найти множество таких пар.
Если каждой паре чисел (x, y) из множества решений неравенства поставить в соответствие точку М(x, y) , получим множество точек на плоскости, задаваемое этим неравенством. Его называют графиком данного неравенства . График неравенства обычно является областью на плоскости.
Чтобы изобразить множество решений неравенства f(x, y) > g(x, y) , поступают следующим образом. Сначала заменяют знак неравенства знаком равенства и находят линию, имеющую уравнение f(x,y) = g(x,y) . Эта линия делит плоскость на несколько частей. После этого достаточно взять в каждой части по одной точке и проверить, выполняется ли в этой точке неравенство f(x, y) > g(x, y) . Если оно выполняется в этой точке, то оно будет выполняться и во всей части, где лежит эта точка. Объединяя такие части, получаем множество решений.
Задача. y > x .
Решение. Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и построим в прямоугольной системе координат линию, имеющую уравнение y = x .
Эта линия делит плоскость на две части. После этого возьмем в каждой части по одной точке и проверим, выполняется ли в этой точке неравенство y > x .
Задача.
Решить графически неравенство
х
2 + у
2 £ 25.
|
Решение.
Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и проведем линию х
2 + у
2 = 25. Это окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Полученная окружность делит плоскость на две части. Проверяя выполнимость неравенства х
2 + у
2 £ 25 в каждой части, получаем, что графиком является множество точек окружности и части плоскости внутри окружности. Пусть даны два неравенства f 1(x, y) > g 1(x, y) и f 2(x, y) > g 2(x, y) .
Системы совокупностей неравенств с двумя переменными
Система неравенств представляет собой конъюнкцию этих неравенств. Решением системы является всякое значение (x, y) , которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих данную систему.
Совокупность неравенств представляет собой дизъюнкцию этих неравенств. Решением совокупности является всякое значение (x, y) , которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности. Множество решений совокупности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.
Задача.
Решить графически систему неравенств 
Решение.
у = х
и х
2 + у
2 = 25. Решаем каждое неравенство системы.
Графиком системы будет множество точек плоскости, являющихся пересечением (двойная штриховка) множеств решений первого и второго неравенств.
Задача.
Решить графически совокупность неравенств 
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решите графически неравенства: а) у > 2x ; б) у < 2x + 3;
в) x 2 + y 2 > 9; г) x 2 + y 2 £ 4.
2. Решите графически системы неравенств:
а) в) 
