Что лежит в основе правильной пирамиды. Н.Никитин Геометрия

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание ), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани ) (рис. 15). Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром .

Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой . Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.

Теоремы

1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.

Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула:

где V – объем;

S осн – площадь основания;

H – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды верны формулы:

где p – периметр основания;

h а – апофема;

H – высота;

S полн

S бок

S осн – площадь основания;

V – объем правильной пирамиды.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Для усеченной пирамиды справедливы формулы:

(4)

где S 1 , S 2 – площади верхнего и нижнего оснований;

S полн – площадь полной поверхности;

S бок – площадь боковой поверхности;

H – высота;

V – объем усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды верна формула:

где p 1 , p 2 – периметры оснований;

h а – апофема правильной усеченной пирамиды.

Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60º. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 18).

Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a между двумя перпендикулярами: и т.е. Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС ). Угол наклона бокового ребра (например SB ) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB этим углом будет угол SBD . Чтобы найти тангенс необходимо знать катеты SO и OB . Пусть длина отрезка BD равна 3а . Точкой О отрезок BD делится на части: и Из находим SO : Из находим:

Ответ:

Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота 4 см.

Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований и Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:

Ответ: 112 см 3 .

Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).

Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из где А 1 Е перпендикуляр из точки А 1 на плоскость нижнего основания, A 1 D – перпендикуляр из А 1 на АС . А 1 Е = 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О – проекция центров верхнего и нижнего оснований. так как (см. рис. 20) и С другой стороны ОК – радиус вписанной в окружности и ОМ – радиус вписанной в окружности:

MK = DE .

По теореме Пифагора из

Площадь боковой грани:

Ответ:

Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b ). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD .

Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:

Аналогично и значит Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD . Изобразим трапецию ABCD отдельно (рис.22). Точка О – центр вписанной в трапецию окружности.

Так как в трапецию можно вписать окружность, то или Из по теореме Пифагора имеем

Определение 1 . Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания.

Определение 2 . Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Элементы правильной пирамиды

Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема . На рисунке обозначена как отрезок ON
Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)
Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
Диагональное сечение пирамиды - это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной , четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр .

Свойства правильной пирамиды

Для решения задач необходимо знать свойства отдельных элементов, которые в условии обычно опускаются, так как считается, что ученик должен это знать изначально.

боковые ребра равны между собой
апофемы равны
боковые грани равны между собой (при этом, соответственно, равны их площади, боковые стороны и основания), то есть они являются равными треугольниками
все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно π/n, где n - количество сторон многоугольника основания
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
около основания правильной пирамиды можно описать окружность (см. также радиус описанной окружности треугольника)
все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы
все высоты боковых граней равны между собой

Указания к решению задач . Свойства, перечисленные выше, должны помочь в практическом решении. Если требуется найти углы наклона граней, их поверхность и т. д., то общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для нахождения отдельных элементов пирамиды, поскольку многие элементы являются общими для нескольких фигур.

Необходимо разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы - треугольники, квадраты, отрезки. Далее, к отдельным элементам применить знания из курса планиметрии, что существенно упрощает нахождение ответа.

Формулы для правильной пирамиды

Формулы для нахождения объема и площади боковой поверхности:

Обозначения :
V - объем пирамиды
S - площадь основания
h - высота пирамиды
Sb - площадь боковой поверхности
a - апофема (не путать с α)
P - периметр основания
n - число сторон основания
b - длина бокового ребра
α - плоский угол при вершине пирамиды

Данная формула нахождения объема может применяться только для правильной пирамиды:

, где

V - объем правильной пирамиды
h - высота правильной пирамиды
n - число сторон правильного многоугольника, который является основанием для правильной пирамиды
a - длина стороны правильного многоугольника

Правильная усеченная пирамида

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой . Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований.

Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется - апофема правильной усеченной пирамиды .

Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.

Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды
Все грани правильной усеченной пирамиды являются равнобокими (равнобедренными) трапециями

Примечания

См. также: частные случаи (формулы) для правильной пирамиды:

Как воспользоваться приведенными здесь теоретическими материалами для решения своей задачи:

Понятие пирамиды

Определение 1

Геометрическая фигура, образованная многоугольником и точкой, не лежащей в плоскости, содержащей этот многоугольник, соединенной со всеми вершинами многоугольника называется пирамидой (рис. 1).

Многоугольник, из которого составлена пирамида, называется основанием пирамиды, получаемые при соединение с точкой треугольники - боковыми гранями пирамиды, стороны треугольников -- сторонами пирамиды, а общая для всех треугольников точка-- вершиной пирамиды.

Виды пирамид

В зависимости от количества углов в основании пирамиды ее можно назвать треугольной, четырехугольной и так далее (рис. 2).

Рисунок 2.

Еще один вид пирамид -- правильная пирамида.

Введем и докажем свойство правильной пирамиды.

Теорема 1

Все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками, которые равны между собой.

Доказательство.

Рассмотрим правильную $n-$угольную пирамиду с вершиной $S$ высотой $h=SO$. Опишем вокруг основания окружность (рис. 4).

Рисунок 4.

Рассмотрим треугольник $SOA$. По теореме Пифагора, получим

Очевидно, что так будет определяться любое боковое ребро. Следовательно, все боковые ребра равны между собой, то есть все боковые грани -- равнобедренные треугольники. Докажем, что они равны между собой. Так как основание -- правильный многоугольник, то основания всех боковых граней равны между собой. Следовательно, все боковые грани равны по III признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

Введем теперь следующее определение, связанное с понятием правильной пирамиды.

Определение 3

Апофемой правильной пирамиды называется высота её боковой грани.

Очевидно, что по теореме один все апофемы равны между собой.

Теорема 2

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды определяется как произведение полупериметра основания на апофему.

Доказательство.

Обозначим сторону основания $n-$угольной пирамиды через $a$, а апофему через $d$. Следовательно, площадь боковой грани равна

Так как, по теореме 1, все боковые стороны равны, то

Теорема доказана.

Еще один вид пирамиды -- усеченная пирамида.

Определение 4

Если через обычную пирамиду провести плоскость, параллельную её основанию, то фигура, образованная между этой плоскостью и плоскостью основания называется усеченной пирамидой (рис. 5).

Рисунок 5. Усеченная пирамида

Боковыми гранями усеченной пирамиды являются трапеции.

Теорема 3

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды определяется как произведение суммы полупериметров оснований на апофему.

Доказательство.

Обозначим стороны оснований $n-$угольной пирамиды через $a\ и\ b$ соответственно, а апофему через $d$. Следовательно, площадь боковой грани равна

Так как все боковые стороны равны, то

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 1

Найти площадь боковой поверхности усеченной треугольной пирамиды, если она получена из правильной пирамиды со стороной основания 4 и апофемой 5 путем отсечения плоскостью, проходящей через среднюю линию боковых граней.

Решение.

По теореме о средней линии получим, что верхнее основание усеченной пирамиды равно $4\cdot \frac{1}{2}=2$, а апофема равна $5\cdot \frac{1}{2}=2,5$.

Тогда, по теореме 3, получим

Многогранники. Основные элементы. Выпуклые и невыпуклые многогранники.

Многогранник – это ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называется ее гранями, их стороны – ее ребрами, а их вершины – вершинами многогранной поверхности. Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащей одной грани, наз-ся диагоналями . Простой многогранник (двумерный или трехмерный) называется выпуклым , если он расположен по одну сторону от любой плоскости, содержащей его грань (н-р: куб, призма, пирамиды, усеченные пирамиды и др.). Теорема Декарта – Эйлера о многогранниках. Т1: Сумма числа вершин и числа граней выпуклого многогранника на 2 единицы больше числа его ребер (В+Г=Р+2). Т2: Эйлерова характеристика выпуклого многогранника равна двум. Выпуклые правильные многогранники. Многогранник наз-ся правильным, если все его грани правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны и правильны. Многогранный угол наз-ся правильным, если все его двугранные углы равны между собой и все его плоские углы равны между собой. Примечание: 1. Говорят, что 2 правильных многогранника относятся к одному типу, если у них одинаковы следующие характеристики: число вершин – В, число граней – Г, число ребер – Р, число вершин у каждой грани – n, число граней в каждой вершине s. 2. Не следует путать выпуклые правильные многогранники с правильной призмой, правильной пирамидой, прав.усеченной пирамидой, т.к. у названных фигур равны только ребра оснований, а боковые ребра могут быть и не равны ребрам основания и, кроме того, не все их грани являются равными многоугольниками. Существует 5 типов правильных выпуклых многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Невыпуклый многогранник – многогранник, расположенный по разные стороны от плоскости одной из его граней. Существует 4 типа (или тела Кеплера - Пуансо): Большой икосаэдр, Малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр.

Призма. Основные элементы. Прямая и наклонная призмы. Правильная призма. Построение изображения призмы.

Призма – многогранник, у которого 2 грани, называемые основаниями призмы, равны и их соответственные стороны параллельны, а остальные грани – параллелограммы, у каждого из которых 2 стороны являются соответственными сторонами оснований. Стороны боковых граней называются ребрами оснований, стороны оснований называются ребрами оснований, вершины оснований наз-ся вершинами призмы. Все равны между собой, равны и параллельны соотв.стороны оснований. Высотой призмы наз-ся расстояние между плоскостями и ее основаниями. Призма называется прямой , если её боковые ребра перпендикулярны основанию. В такой случае боковые ребра являются высотой прямой призмы. У прямой призмы боковые грани – прямоугольники. Наклонная призма – призма, боковые ребра которой не перпендикулярны основанию. Прямая призма называется правильной, если ее основанием является правильный многогранник. Построение : сначала строится одно из оснований. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями.

Параллелепипед. Основные элементы. Свойства параллелепипеда. Прямой и прямоугольный параллелепипед. Куб. Построение изображения парал-да и куба.

Параллелепипед – призма, у которой основание – параллелограмм. Параллелепипед имеет 8 вершин, 12 ребер, 6 граней. Эл-ты: 2 грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро – смежными. Две вершины парал-да, не принадлежащие одной грани, наз-ся противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, наз-ся диагональю парал-да. Длины трех ребер прямоугольного парал-да, имеющих общую вершину, наз-т его измерениями. Свойства : 1. В параллелепипеде все его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. 2. Противоположные грани парал-да попарно равны и параллельны. 3. Боковые грани прямого параллелепипеда - прямоугольники. 4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Прямоугольный параллелепипед – прямой параллелепипед, основание которого прямоугольники, параллельные и равные между собой. Прямой параллелепипед - это параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны основанию. Однако в основании прямого параллелепипеда в общем случае лежит параллелограмм. А вот в основании прямоугольного параллелепипеда - обязательно прямоугольник. Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, т.е. все грани которого – квадраты. Квадрат диагонали куба = 3*А (в квадрате), А – измерение куба. Построение: Построить параллелепипед можно с помощью обычной и треугольной линейки. Суть построений заключается в параллельном проведении всех линий геометрической фигуры; Чтобы построить куб во всех этих положениях, достаточно построить переднюю грань, провести линии из четырех углов в точку схода, отложить на этих линиях верхние и нижние ребра и соединить их между собой.

Пирамида. Основные элементы. Правильная пирамида, её свойства. Построение изображения пирамиды.

Пирамида - многогранник, одна грань которого плоский многоугольник (основание пирамиды), а остальные грани (боковые грани) - треугольники с общей вершиной, а их общая вершина - вершина пирамиды.

Высота - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, а также длина этого перпендикуляра.

Пирамида называется правильной , если её основание - правильный многоугольник и высота проходит через центр этого многоугольника.

Высота боковой грани правильной пирамиды - апофема .

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания - диагональное сечение пирамиды.

Свойства правильной пирамиды:

1. Апофемы равны.

2. Высота проходит через центр основания.

3. Боковые ребра равны между собой

4. все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

5.площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

6. все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы

7. все высоты боковых граней равны между собой

Чтобы изобразить правильную пирамиду , сначала чертят правильный многоугольник, лежащий в основании, и его центр - точку О. Затем проводят вертикальный отрезок OS, изображающий высоту пирамиды. Точку S соединяют со всеми вершинами основания.

Формула площади боковой поверхности для правильной пирамиды: ½ h * P основания

В этом уроке приведены определение и свойства правильной треугольной пирамиды и ее частного случая - тетраэдра (см. ниже). Ссылки на примеры решения задач приведены в конце урока.

Определение

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.

На рисунке обозначены:
ABC - Основание пирамиды
OS - Высота
KS - Апофема
OK - радиус окружности, вписанной в основание
AO - радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной пирамиды
SKO - двугранный угол между основанием и гранью пирамиды (в правильной пирамиде они равны)

Важно . В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).

Свойства правильной треугольной пирамиды :

боковые ребра правильной пирамиды равны
все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками
в правильную треугольную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу
если центры вписанной и описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π (180 градусов) , а каждый из них соответственно равен π / 3 (пи делить на 3 или 60 градусов).
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
вершина пирамиды проецируется на основание в центр правильного равностороннего треугольника, который является центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан

Формулы для правильной треугольной пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

V - объем правильной пирамиды, имеющей в основании правильный (равносторонний) треугольник
h - высота пирамиды
a - длина стороны основания пирамиды
R - радиус описанной окружности
r - радиус вписанной окружности

Поскольку правильная треугольная пирамида является частным случаем правильной пирамиды, то формулы, которые верны для правильной пирамиды, верны и для правильной треугольной - см. формулы для правильной пирамиды .

Примеры решения задач:

Тетраэдр

Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр .

Тетраэдр - это правильный многогранник (правильная треугольная пирамида) у которой все грани являются правильными треугольниками.

У тетраэдра:

Все грани равны
4 грани, 4 вершины и 6 ребер
Все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

Медиана тетраэдра - это отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, противолежащего вершине)

Бимедиана тетраэдра - это отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер (соединяющий середины сторон треугольника, являющегося одной из граней тетраэдра)

Высота тетраэдра - это отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани (то есть является высотой, проведенной от любой грани, также совпадает с центром описанной окружности).

Тетраэдр обладает следующими свойствами :

Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке
Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины
Эта точка делит бимедианы пополам