Интегралы и их применение. Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

План

1. История интегрального исчисления.

2. Определение и свойства интеграла.

3. Криволинейная трапеция.

4. Свойства определенного интеграла.

5. Набор стандартных картинок.

6. Применение интеграла.

История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга”

круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики-интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные ермины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = ò f(x)dx - начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. b

называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

(1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э.Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.

Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.

S = S1 = c (b – а).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хn, где п - целое (т.е по существу вывел формулу ò хndx = (1/n+1)хn+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе с расширенным изучением математики и физики

«Применение методов математического анализа при решении практических задач».

Учитель: Вишневская Н.В.

Цели урока: 1. Повторить основные типы задач, решаемые методами математического анализа.

2. Повторить алгоритмы решения.

3. Разобрать решение задач повышенной трудности.

4. Решить экономические задачи.

План проведения урока:

На доске разбираются две задачи повышенной трудности (карточки № 7 и № 5). Пока ребята готовятся, класс устно отвечает на вопросы:

а) Области, где применяются методы математического анализа;

б) алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции;

в) алгоритм решения задач с помощью определенного интеграла.

В это же время 6 человек работают по карточкам (№ 3, 4, 6, 8, 9, 10).

Заполняются таблицы.

Проверяются задачи на доске, учитель проверяет правильность решения задач по карточкам.

Разбирается на доске экономическая задача (карточка № 1, 2).

Домашняя контрольная работа.

Алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции.

Алгоритм вычисления геометрических и физических величин с помощью определенного интеграла.

Выражают искомую величину как значение в некоторой точке в функции F .

Находят производную f этой функции.

Выражают функцию F в виде определенного интеграла от f и вычисляют его.

Подставляя значение х = b находят искомую величину.

Домашние задачи (на доске):

Карточка № 7

Два корабля движутся по двум перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О , по направлению к О . В какой-то момент времени оба находятся в 65 км от О , скорость первого равна 15 км/ч, второго – 20 км/ч. От первого корабля отходит моторная лодка, движущаяся со скоростью 25 км/ч.

а) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго?

б) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго и вернуться обратно на первый корабль?

V 1 = 15 км/ч

65 км S 1 О

S 3 S 2

65 км

V л = 25 км/ч

V 2 = 20 км/ч

Решение:

х – время, которое прошло от того момента, когда оба корабля находились в 65 км от О , до момента отправления катера.

– время, которое необходимо катеру на путь от 1-го корабля до 2-го.

В момент отправления катера 1-й корабль был на расстоянии
км от О ; в момент прибытия катера на 2-ой корабль, расстояние между ним и О было равно км; путь катера равен
. Тогда по теореме Пифагора

Продифференцируем по х :

;

Ответ: а) 1 час; б) 3 часа.

Карточка № 5

Котел имеет форму параболоида вращения. Радиус его основания R = 3 м, глубина Н = 5 м. Котел наполнен жидкостью, удельный вес которой 0,8 Г/см 3 . Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.

А R В

dy Н

О х х

R = 3 м

Н = 5 м

уд. вес = 0,8 Г/см 3

Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.

Решение:

В плоскости сечения хОу АОВ – парабола, уравнение которой
. Найдем параметр а .

Координаты точки В должны удовлетворять этому уравнению, т.е.

, следовательно
.

Разделим параболоид на слои плоскостями, параллельными поверхности жидкости. Пусть толщина слоя на глубине (Н – у) равна dy . Тогда, принимая приближенно слой за цилиндр, получим его объем
.

Из уравнения параболы
, тогда
, т.е. вес слоя жидкости равен
.

Следовательно, чтобы выкачать жидкость с глубины
, потребуется затратить элементарную работу
,
. Тогда

, тогда .

Ответ:
.

Работа в классе.

Карточка № 6

Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила 1 кГ растягивает ее на 1 см?

Решение:

Согласно закону Гука сила F кГ, растягивающая пружину на х , равна
, k – коэффициент пропорциональности.

х = 0,01 м

F = 1 кГ

Тогда
, следовательно
.

Искомая работа
.

Ответ: 0,18 кГм.

Карточка № 8

Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 кг.

Решение:

По закону Гука
.

х = 0,01 м

F = 1 кГ

Тогда
, следовательно
.

Искомая работа
.

Ответ: 0,125 кГм.

Карточка № 9

Сила F , с которой электрический заряд отталкивает заряд (того же знака), находящийся от него на расстоянии r , выражается формулой

где k – постоянная.

Определить работу силы F при перемещении заряда из точки , отстоящей от на расстоянии , в точку , отстоящую от на расстоянии , полагая, что заряд помещен в точке , принятой за начало отсчета.

Решение:

Работа определяется по формуле
,
. Тогда

При
получим
.

Ответ:
.

Карточка № 3

Определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса R = 6 м, диаметр которого находится на поверхности воды.

Решение:

Сила давления жидкости на площадку площадью S при глубине погружения х равна
, – удельный вес жидкости.

О

х С

dх

А В

Полукруг параллельными прямыми разделим на полоски, которые примем за прямоугольник. Пусть заштрихованная полоска имеет длину АВ , ширину dx и находится на глубине х
.

Давление воды на полоску, находящуюся на глубине х , будет равно .

Отсюда

Удельный вес воды 1 см 3 = 1 Г, следовательно вес 1м 3 = 1000 кГ.

;

1 кГ 9,81 н

1 бар = 0,987 атм.

Ответ: 144000 кГ.

Карточка № 4

Скорость движения точки
м/сек. Найти путь s , пройденный точкой за время Т = 8 сек после начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?

Решение:

, следовательно
,
,
.

Следовательно
.

Ответ: 512 м; 64 м/сек.

Карточка № 1 (решается в классе на доске)

Средние совокупные издержки производства мыла (в тыс. рублей на тонну) на Мухинском мыловаренном заводе изменяются в зависимости от объема годового выпуска Q (в тоннах) по закону:

Связь между годовым объемом продаж, равным величине годового выпуска Q , и ценой мыла Р (в тыс. рублей за тонну) описывается формулой

Реализовав по фиксированной цене все сваренное за год мыло, завод получил максимально возможную прибыль. Какова была при этом выручка предприятия?

Решение:

Выразим через Q сначала цену мыла из формулы
.

Тогда прибыль G можно выразить:

Найдем критические точки этой функции:

,
.

Критические точки 100, –340, –120.

Отрицательные корни не имеют экономического смысла.

;

Значит оптимальный годовой объем мыла
т, тогда цена
(тыс. руб./т).

Тогда годовая выручка R составит: (тыс. руб.).

Ответ: 1 млн. руб.

Карточка № 10

Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что его основание равно 8 м, высота 12 м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 5 м.

Решение:

5 м

8 м

dx 12 м

,
,
м.

кГм.

Ответ:
кГм.

Карточка № 2 (дополнительная)

Производственные мощности позволяют предприятию «Линотрон» выпускать не более 600 тонн ваты в год. Зависимость величины совокупных издержек (в тыс. рублей) от годового объема производства Q (в тоннах) имеет вид

Связь между годовым объемом продаж ваты, который совпадает с объемом годового производства, и ценой на вату Р (в тыс. рублей за тонну) описывается функцией

Цена на вату устанавливается 1 января 1995 года и пересматривается лишь 1 января следующего года.

Найдите с точностью до 1 % рентабельность производства по издержкам, если за 1995 год предприятие получит максимально возможную прибыль.

Решение:

Используя зависимости
и , выразим .

у у

a 0 b c x a 0 b c x

Владимир 2002 год

Владимирский государственный университет, Кафедра общей и прикладной физики

Вступление

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.

История интегрального исчисления

Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summ a). Само слово интеграл придумал Я. Б е р у л л и (1690 г.) Вероятн о, оно происходит от латинского integro , которое переводится как приводи ь в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования восстанавливает функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина инт грал иное: слово integer означает целый.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что в е первообразные функции отличаются на произвольн ю постоянн ю. b

называют определенным интегралом (обо начение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эй лер).

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольн иков стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертика ьных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равн ю бесконечно малой величине f(х) . В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

S = S1 = c (b – а).

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезн м при нахождении объемов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801-1862), В.Я.Буняковский (1804-1889), П.Л.Ч бышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826-1866), французского математика Г.Дарбу (1842-1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.

Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие "интеграл"

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа "Интеграл"

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Линейность:

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Владимир 2002 год

Владимирский государственный университет, Кафедра общей и прикладной физики

Вступление

История интегрального исчисления

Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summ a). Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятн о, оно происходит от латинского integro , которое переводится как приводит ь в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования « восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина инте грал иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласил ись с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики-интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные ермины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило бол ее раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское сл ово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = ò f(x)dx - начальная (или первоначальная, или первообразная) для f (x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что вс е первообразные функции отличаются на произвольну ю постоянну ю. b

называют определенным интегралом (обоз начение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эй лер).

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольн иков стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикал ьных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равну ю бесконечно малой величине f(х)dx . В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

S = S1 = c (b – а).

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезны м при нахождении объемов.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801-1862), В.Я.Буняковский (1804-1889), П.Л.Че бышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (188 4-1974), со ветским математиком А. Я. Х инчинчин ым (1894-1959).

Определение и свойства интеграла

Если F(x) – одна из первообразных функции f(x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где CÎR.

Определение. Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается ò f(x)dx.

ò f(x)dx = F(x)+C, где F(x) – некоторая первообразная на промежутке J.

f – подынтегральная функция, f(x) – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования, C – постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла.

(ò f(x)dx) ¢ = ò f(x)dx ,

ò f(x)dx = F(x)+C, где F ¢(x) = f(x)

(ò f(x)dx) ¢= (F(x)+C) ¢= f(x)

ò f ¢(x)dx = f(x)+C – из определения.

ò k f (x)dx = k ò f¢(x)dx

если k – постоянная и F ¢(x)=f(x),

ò k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k ò f¢(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò dx =

= ò ¢dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=

= ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx, где C=C1+C2+C3+...+Cn.

Интегрирование

Табличный способ.

Способ подстановки.

Если подынтегральная функция не является табличным интегралом, то возможно (не всегда) применить этот способ. Для этого надо:

разбить подынтегральную функцию на два множителя;

обозначить один из множителей новой переменной;

выразить второй множитель через новую переменную;

составить интеграл, найти его значение и выполнить обратную подстановку.

Примечание: за новую переменную лучше обозначить ту функцию, которая связана с оставшимся выражением.

1. ò xÖ(3x2–1)dx;

Пусть 3x2–1=t (t³0), возьмем производную от обеих частей:

ó dt 1 1 ó 1 1 t 2 2 1 ---Ø

ô- t 2 = - ô t 2dt = – --– + C = -Ö 3x2–1 +C

ò sin x cos 3x dx = ò – t3dt = – – + C

Пусть cos x = t

Метод преобразования подынтегральной функции в сумму или разность:

ò sin 3x cos x dx = 1/2 ò (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x – ¼ cos 2x + C

ó x4+3x2+1 ó 1 1

ô---- dx = ô(x2+2 – --–) dx = - x2 + 2x – arctg x + C

õ x2+1 õ x2+1 3

Примечание: при решении этого примера хорошо делать многочлены ”углом”.

По частям

Если в заданном виде взять интеграл невозможно, а в то же время, очень легко находится первообразная одного множителя и производная другого, то можно использовать формулу.

(u(x)v(x))^=u^(x)v(x)+u(x)v(x)

u^(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v^(x)

Проинтегрируем обе части

ò u^(x)v(x)dx=ò (u(x)v(x))^dx – ò u(x)v^(x)dx

ò u^(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – ò u(x)v^(x)dx

ò x cos (x) dx = ò x dsin x = x sin x – ò sin x dx = x sin x + cos x + C

Криволинейная трапеция

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке , то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.

Дано: f(x)– непрерывная неопр. функция, xÎ.

Доказать: S = F(b) – F(a), где F(x) – первообразная f(x).

Доказательство:

Докажем, что S(a) – первообразная f(x).

D(f) = D(S) =

S^(x0)= lim(S(x0+Dx) – S(x0) / Dx), при Dx®0 DS – прямоугольник

Dx®0 со сторонами Dx и f(x0)

S^(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0): т.к. x0 точка, то S(x) –

Dx®0 Dx®0 первообразная f(x).

Следовательно по теореме об общем виде первообразной S(x)=F(x)+C.

Т.к. S(a)=0, то S(a) = F(a)+C

S = S(b)=F(b)+C = F(b)–F(a)

Предел этой суммы называют определенным интегралом.

Сумма стоящая под пределом, называется интегральной суммой.

Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке при n®¥. Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.

a - нижний предел интегрирования;

b - верхний.

Формула Ньютона–Лейбница.

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции делаем вывод:

если F – первообразная для b на , то

ò f(x)dx = F(b)–F(a)

ò f(x)dx = F(x) ô = F(b) – F(a)

Свойства определенного интеграла.

ò f(x)dx = ò f(z)dz

ò f(x)dx = F(a) – F(a) = 0

ò f(x)dx = – ò f(x)dx

ò f(x)dx = F(a) – F(b) ò f(x)dx = F(b) – F(a) = – (F(a) – F(b))

Если a, b и c любые точки промежутка I, на котором непрерывная функция f(x) имеет первообразную, то

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx

F(b) – F(a) = F(c) – F(a) + F(b) – F(c) = F(b) – F(a)

(это свойство аддитивности определенного интеграла)

Если l и m постоянные величины, то

ò (lf(x) +m j(x))dx = l ò f(x)dx + m òj(x))dx –

– это свойство линейности определенного интеграла.

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) –

– (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C =

F(b)–F(a)+C1 +G(b)–G(a)+C2+...+H(b)–H(a)+Cn=

= ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx

Набор стандартных картинок

S=ò f(x)dx + ò g(x)dx

Применение интеграла

I. В физике.

Работа силы (A=FScosa, cosa ¹ 1)

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно

приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds – перемещение частицы за время dt. Величина

называется работой, совершаемой силой F.

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f–непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S1(a) в S2(b). Разобьем отрезок на n отрезков, одинаковой длины Dx = (b – a)/n. Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) –непрерывна, то при малом работа силы на этом отрезке равна f(a)(x1–a). Аналогично на втором отрезке f(x1)(x2–x1), на n-ом отрезке - f(xn–1)(b–xn–1). Следовательно работа на равна:

А » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn–1)Dx=

= ((b–a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn–1))

Приблизительное равенство переходит в точное при n®¥

А = lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(xn–1))= ò f(x)dx (по определению)

Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой –F(s) упругость пружины при её сжатии, то

Eп = A= – ò (–F(s)) dx

Из курса механики известно, что F(s)= –Cs.

Отсюда находим

Еп= – ò (–Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4

Ответ: Cl2/8.

Координаты центра масс

Центр масс – точка через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |a£x£b; 0£y£f(x)} и функция y=f(x) непрерывна на , а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:

x0 = (1/S) ò x f(x) dx; y0 = (1/2S) ò f 2(x) dx;

Центр масс.

Найти центр масс однородного полукруга радиуса R.

Изобразим полукруг в системе координат OXY.

y = (1/2S) òÖ(R2–x2)dx = (1/pR2) òÖ(R2–x2)dx =

= (1/pR2)(R2x–x3/3)|= 4R/3p

Ответ: M(0; 4R/3p)

Путь, пройденный материальной точкой

Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью u=u(t) и за время T= t2–t1 (t2>t1) прошла путь S, то

В геометрии

Объём - количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1ди, 1м и т.д.).

Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле - объём тела.

Аксиомы объёма:

Объём - это неотрицательная величина.

Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих.

Найдем формулу для вычисления объёма:

выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;

определим границы расположения тела относительно ОХ;

введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ.

разобьем отрезок на n равных частей и через каждую точку разбиения проведём плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части. По аксиоме

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

Dx®0, а Sk®Sk+1, а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра Vц=SоснH.

Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n®¥ называется интегралом a

V= ò S(x)dx, где S(x) – сечение плоскости, проходящей через

b выбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

Для нахождения объема надо:

1). Выбрать удобным способом ось ОХ.

2). Определить границы расположения этого тела относительно оси.

3). Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.

4). Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.

5). Составить интеграл.

6). Вычислив интеграл, найти объем.

Объем фигур вращения

Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.

Функция S(x) у фигуры вращения есть круг.

Sсеч(x)=p f 2(x)

Длина дуги плоской кривой

Пусть на отрезке функция y = f(x) имеет непрерывную производную y^ = f ^(x). В этом случае длину дуги l “куска” графика функции y = f(x), xÎ можно найти по формуле

l = ò Ö(1+f^(x)2)dx

Список литературы

М.Я.Виленкин, О.С.Ивашев–Мусатов, С.И.Шварцбурд, “Алгебра и математический анализ”, Москва,1993г.

“Сборник задач по математическому анализу”, Москва,1996г.

И.В.Савельев, “Курс общей физики”, том 1, Москва, 1982г.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referatovbank.ru/