Выражения и их тождественные преобразования. Конспект урока на тему " Тождества
Возведение двучлена в степень
Двучлен — это многочлен, состоящий из двух членов. В прошлых уроках мы возводили двучлен во вторую и третью степень, тем самым получили формулы сокращенного умножения:
(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Но двучлен можно возводить не только во вторую и третью степень, но и в четвёртую, пятую или более высокую степень.
К примеру, возведём двучлен a + b в четвертую степень:
(a + b ) 4
Представим это выражение в виде произведения двучлена a + b и куба этого же двучлена
(a + b )(a + b ) 3
Сомножитель (a + b ) 3 можно заменить на правую часть формулы куба суммы двух выражений. Тогда получим:
(a + b )(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3)
А это обычное перемножение многочленов. Выполним его:
То есть при возведении двучлена a + b в четвертую степень получается многочлен a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
(a + b ) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
Возведение двучлена a + b в четвертую степень можно выполнить ещё и так: представить выражение (a + b ) 4 в виде произведения степеней (a + b ) 2 (a + b ) 2
(a + b ) 2 (a + b ) 2
Но выражение (a + b ) 2 равно a 2 + 2ab + b 2 . Заменим в выражении (a + b ) 2 (a + b ) 2 квадраты суммы на многочлен a 2 + 2ab + b 2
(a 2 + 2ab + b 2)(a 2 + 2ab + b 2)
А это опять же обычное перемножение многочленов. Выполним его. У нас получится тот же результат, что и раньше:
Возведение трёхчлена в степень
Трёхчлен — это многочлен, состоящий из трёх членов. Например, выражение a + b + c является трёхчленом.
Иногда может возникнуть задача возвести трёхчлен в степень. Например, возведём в квадрат трехчлен a + b + c
(a + b + c ) 2
Два члена внутри скобок можно заключить в скобки. К примеру, заключим сумму a + b в скобки:
((a + b ) + c ) 2
В этом случае сумма a + b будет рассматриваться как один член. Тогда получается, что в квадрат мы возводим не трёхчлен, а двучлен. Сумма a + b будет первым членом, а член c — вторым членом. А как возводить в квадрат двучлен мы уже знаем. Для этого можно воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:
(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Применим эту формулу к нашему примеру:
Таким же способом можно возвести в квадрат многочлен, состоящий из четырёх и более членов. Например, возведем в квадрат многочлен a + b + c + d
(a + b + c + d ) 2
Представим многочлен в виде суммы двух выражений: a + b и c + d . Для этого заключим их в скобки:
((a + b ) + (c + d )) 2
Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:
Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена
Ещё одно тождественное преобразование, которое может пригодиться при решении задач это выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.
Квадратным трехчленом называют трёхчлен второй степени. Например, следующие трехчлены являются квадратными:
Идея выделения полного квадрата из таких трехчленов заключается в том, чтобы представить исходный квадратный трехчлен в виде выражения (a + b ) 2 + c , где (a + b ) 2 полный квадрат, а c — некоторое числовое или буквенное выражение.
Например, выделим полный квадрат из трёхчлена 4x 2 + 16x + 19 .
Для начала нужно построить выражение вида a 2 + 2ab + b 2 . Строить мы его будем из трехчлена 4x 2 + 16x + 19 . Для начала определимся какие члены будут играть роли переменных a и b
Роль переменной a будет играть член 2x , поскольку первый член трехчлена 4x 2 + 16x + 19 , а именно 4x 2 получается если 2x возвести в квадрат:
(2x ) 2 = 4x 2
Итак, переменная a равна 2x
a = 2x
Теперь возвращаемся к исходному трёхчлену и сразу обращаем внимание на выражение 16x . Это выражение является удвоенным произведением первого выражения a (в нашем случае это 2x ) и второго пока неизвестного нам выражения b . Временно поставим на его место вопросительный знак:
2 × 2x × ? = 16x
Если внимательно посмотреть на выражение 2 × 2x × ? = 16x , то интуитивно станет понятно, что членом b в данной ситуации является число 4, поскольку выражение 2 × 2x равно 4x , и чтобы получить 16x нужно домножить 4x на 4 .
2 × 2x × 4 = 16x
Отсюда делаем вывод, что переменная b равна 4
b = 4
Значит, нашим полным квадратом будет выражение (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2
Теперь у нас всё готово для выделения полного квадрата из трёхчлена 4x 2 + 16x + 19 .
Итак, возвратимся к исходному трехчлену 4x 2 + 16x + 19 и попробуем аккуратно внедрить в него полученный нами полный квадрат (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2
4x 2 + 16x + 19 =
Вместо 4x 2 записываем (2x ) 2
4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2
4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4
4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2
А член 19 пока переписываем как есть:
4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 + 19
Теперь обратим внимание на то, что полученный нами многочлен (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 + 19 не тождественен изначальному трёхчлену 4x 2 + 16x + 19 . Убедиться в этом можно приведя многочлен (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 + 19 к стандартному виду:
(2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 + 19 = 4x 2 + 16x + 4 2 + 19
Видим, что получается многочлен 4x 2 + 16x + 4 2 + 19 , а должен был получиться 4x 2 + 16x + 19 . Это по причине того, что член 4 2 был искусственно внедрён в изначальный трёхчлен с целью организовать полный квадрата из трёхчлена 4x 2 + 16x + 19 .
4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 − 4 2 + 19
Теперь выражение (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 можно свернуть, то есть записать в виде (a + b ) 2 . В нашем случае получится выражение (2x + 4) 2
4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19
Оставшиеся члены −4 2 и 19 можно сложить. −4 2 это −16 , отсюда −16 + 19 = 3
4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 + 3
Значит, 4x 2 + 16x + 19 = (2x + 4) 2 + 3
Пример 2 . Выделить полный квадрат из квадратного трёхчлена x 2 + 2x + 2
Сначала построим выражение вида a 2 + 2 ab + b 2 . Роль переменной a в данном случае играет x, поскольку x 2 = x 2 .
Следующий член исходного трёхчлена 2x перепишем в виде удвоенного произведение первого выражения (это у нас x ) и второго выражения b (это будет 1).
2 × x × 1 = 2x
Если b = 1 , то полным квадратом будет выражение x 2 + 2x + 1 2 .
Теперь вернёмся к исходному квадратному трёхчлену и внедрим в него полный квадрата x 2 + 2x + 1 2
x 2 + 2x + 2 = x 2 + 2x + 1 2 − 1 2 + 2 = (x + 1) 2 + 1
Как и в прошлом примере член b (в данном примере это 1) после прибавления сразу был вычтен с целью сохранения значения исходного трёхчлена.
Рассмотрим следующее числовое выражение:
9 + 6 + 2
Значение этого выражения равно 17
9 + 6 + 2 = 17
Попробуем выделить в этом числовом выражении полный квадрат. Для этого сначала построим выражение вида a 2 + 2ab + b 2 . Роль переменной a в данном случае играет число 3 , поскольку первый член выражения 9 + 6 + 2 , а именно 9 можно представить как 3 2 .
Второй член 6 представим в виде удвоенного произведения первого члена 3 и второго 1
2 × 3 × 1 = 6
То есть переменная b будет равна единице. Тогда полным квадратом будет выражение 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 . Внедрим его в исходное выражение:
− 1 2 + 2
Свернем полный квадрат, а члены −1 2 и 2 слóжим:
3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
Получилось выражение (3 + 1) 2 + 2 , которое по прежнему равно 17
(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17
Допустим, у нас имеются квадрат и два прямоугольника. Квадрат со стороной 3 см, прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см, а также прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см
Вычислим площадь каждой фигуры. Площадь квадрата будет составлять 3 2 = 9 см 2 , площадь розового прямоугольника — 2 × 3 = 6 см 2 , площадь сиреневого — 1 × 2 = 2 см 2
Запишем сумму площадей этих прямоугольников:
9 + 6 + 2
Это выражение можно понимать как объединение квадрата и двух прямоугольников в единую фигуру:
Тогда получается фигура, площадь которой 17 см 2 . Действительно, в представленной фигуре содержится 17 квадратов со стороной 1 см.
Попробуем из имеющейся фигуры образовать квадрат. Причем максимально большой квадрат. Для этого будем использовать части от розового и сиреневого прямоугольника.
Чтобы образовать максимально большой квадрат из имеющейся фигуры, можно желтый квадрат оставить без изменений, а половину от розового прямоугольника прикрепить к нижней части желтого квадрата:
Видим, что до образования полного квадрата не хватает еще одного квадратного сантиметра. Его мы можем взять от сиреневого прямоугольника. Итак, возьмем один квадрат от сиреневого прямоугольника и прикрепим его к образуемому большому квадрату:
Теперь внимательно посмотрим к чему мы пришли. А именно на желтую часть фигуры и розовую часть, которая по сути увеличила прежний жёлтый квадрат. Не означает ли это то, что была сторона квадрата равная 3 см, и эта сторона была увеличена на 1 см, что привело в итоге к увеличению площади?
(3 + 1) 2
Выражение (3 + 1) 2 равно 16 , поскольку 3 + 1 = 4 , а 4 2 = 16 . Этот же результат можно получить, если воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:
(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
Действительно, в образовавшемся квадрате содержится 16 квадратов.
Оставшийся один квадратик от сиреневого прямоугольника можно прикрепить к образовавшемуся большому квадрату. Ведь речь изначально шла о единой фигуре:
(3 + 1) 2 + 1
Прикрепление маленького квадратика к имеющемуся большому квадрату описывается выражением (3 + 1) 2 + 1 . А это есть выделение полного квадрата из выражения 9 + 6 + 2
9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
Выражение (3 + 1) 2 + 1 , как и выражение 9 + 6 + 2 равно 17 . Действительно, площадь образовавшейся фигуры равна 17 см 2 .
Пример 4 . Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x 2 + 6x + 8
x 2 + 6x + 8 = x 2 + 2 × x × 3 + 3 2 − 3 2 + 8 = (x + 3) 2 − 1
В некоторых примерах при построении выражения a 2 + 2ab + b 2 не бывает возможным сразу определить значения переменных a и b .
Например, выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x 2 + 3x + 2
Переменной a соответствует x . Второй член 3x нельзя представить в виде удвоенного произведения первого выражения и второго. В этом случае второй член следует умножить на 2, и чтобы значение исходного многочлена не изменилось, сразу же выполнить деление на 2. Выглядеть это будет так.
В ходе изучения алгебры мы сталкивались с понятиями многочлен (например ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ и тд) и алгебраическая дробь(например $\frac{x+5}{x}$ , $\frac{2x^2}{2x^2-2x}$,$\ \frac{x-y}{y-x}$ и тд). Сходство этих понятий в том, что и в многочленах, и в алгебраических дробях присутствуют переменные и числовые значения, выполняются арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в степень. Отличие этих понятий состоит в том, что в многочленах не производится деление на переменную, а в алгебраических дробях деление на переменную можно производить.
И многочлены , и алгебраические дроби в математике называются рациональными алгебраическими выражениями. Но многочлены являются целыми рациональными выражениями, а алгебраические дроби- дробно- рациональными выражениями.
Можно получить из дробно --рационального выражения целое алгебраическое выражение используя тождественное преобразование, которое в данном случае будет являться основным свойством дроби - сокращением дробей. Проверим это на практике:
Пример 1
Выполнить преобразование:$\ \frac{x^2-4x+4}{x-2}$
Решение: Преобразовать данное дробно-рациональное уравнение можно путем использования основного свойства дроби- сокращения, т.е. деления числителя и знаменателя на одно и то же число или выражение, отличное от $0$.
Сразу данную дробь сократить нельзя,необходимо преобразовать числитель.
Преобразуем выражние стоящее в числителе дроби,для этого воспользуемся формулой квадрата разности :$a^2-2ab+b^2={(a-b)}^2$
Дробь имеет вид
\[\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{{(x-2)}^2}{x-2}=\frac{\left(x-2\right)(x-2)}{x-2}\]
Теперь мы видим, что в числителе и в знаменателе есть общий множитель --это выражение $x-2$, на которое произведем сокращение дроби
\[\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{{(x-2)}^2}{x-2}=\frac{\left(x-2\right)(x-2)}{x-2}=x-2\]
После сокращения мы получили, что исходное дробно-рациональное выражение $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ стало многочленом $x-2$, т.е. целым рациональным.
Теперь обратим внимание на то, что тождественными можно считать выражения $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ и $x-2\ $ не при всех значениях переменной, т.к. для того, чтобы дробно-рациональное выражение существовало и было возможно сокращение на многочлен $x-2$ знаменатель дроби не должен быть равен $0$ (так же как и множитель, на который мы производим сокращение. В данном примере знаменатель и множитель совпадают, но так бывает не всегда).
Значения переменной, при которых алгебраическая дробь будет существовать называются допустимыми значениями переменной.
Поставим условие на знаменатель дроби: $x-2≠0$,тогда $x≠2$.
Значит выражения $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ и $x-2$ тождественны при всех значениях переменной, кроме $2$.
Определение 1
Тождественно равными выражениями называются те, которые равны при всех допустимых значениях переменной.
Тождественным преобразованием является любая замена исходного выражения на тождественно равное ему.К таким преобразованиям относятся выполнение действий: сложения, вычитания, умножение, вынесение общего множителя за скобку, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сокращение алгебраических дробей, приведение подобных слагаемых и т.д. Необходимо учитывать,что ряд преобразований, такие как, сокращение, приведение подобных слагаемых могут изменить допустимые значения переменной.
Приемы, использующиеся для доказательств тождеств
Привести левую часть тождества к правой или наоборот с использованием тождественных преобразований
Привести обе части к одному и тому же выражению с помощью тождественных преобразований
Перенести выражения, стоящие в одной части выражения в другую и доказать, что полученная разность равна $0$
Какое из приведенных приемов использовать для доказательства данного тождества зависит от исходного тождества.
Пример 2
Доказать тождество ${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
Решение: Для доказательства данного тождества мы используем первый из приведенных выше приемов, а именно будем преобразовывать левую часть тождества до ее равенства с правой.
Рассмотрим левую часть тождества:$\ {(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)$- она представляет собой разность двух многочленов. При этом первый многочлен является квадратом суммы трех слагаемых.Для возведения в квадрат суммы нескольких слагаемых используем формулу:
\[{(a+b+c)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
Для этого нам необходимо выполнить умножение числа на многочлен.Вспомним, что для этого надо умножить общий множитель,стоящий за скобками на каждое слагаемое многочлена,стоящего в скобках.Тогда получим:
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
Теперь вернемся к исходному многочлену,он примет вид:
${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
Обратим внимание, что перед скобкой стоит знак «-» значит при раскрытии скобок все знаки, которые были в скобках меняются на противоположные.
${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
Приведем подобные слагаемые,тогда получим, что одночлены $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ и $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ взаимно уничтожатся, т.е. их сумма равна $0$.
${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
Значит путем тождественных преобразований мы получили тождественное выражение в левой части исходного тождества
${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
Заметим, что полученное выражение показывает, что исходное тождество --верно.
Обратим внимание, что в исходном тождестве допустимы все значения переменной, значит мы доказали тождество используя тождественные преобразования, и оно верно при всех допустимых значениях переменной.
Пусть даны два алгебраических выражения:
Составим таблицу значений каждого из этих выражений при различных числовых значениях буквы х.
Мы видим, что при всех тех значениях, которые давались букве х, значения обоих выражений оказывались равными. То же будет и при всяком другом значении х.
Чтобы убедиться в этом, преобразуем первое выражение. На основании распределительного закона запишем:
Произведя над числами указанные действия, получим:
Итак, первое выражение после его упрощения оказалось совершенно таким же, как и второе выражение.
Теперь ясно, что при любом значении х значения обоих выражений равны.
Выражения, значения которых равны при любых значениях входящих в них букв, называются тождественно равными или тождественными.
Значит, - тождественные выражения.
Сделаем одно важное замечание. Возьмём выражения:
Составив таблицу, подобную предыдущей, убедимся, что оба выражения при любом значении х, кроме имеют равные числовые значения. Только при второе выражение равно 6, а первое теряет смысл, так как в знаменателе получается нуль. (Вспомним, что на нуль делить нельзя.) Можно ли сказать, что эти выражения тождественны?
Мы раньше условились, что каждое выражение будем рассматривать только при допустимых значениях букв, то есть при тех значениях, при которых выражение не теряет смысла. Значит, и здесь, сравнивая два выражения, принимаем во внимание только те значения букв, которые допустимы для обоих выражений. Поэтому значение мы должны исключить. А так как при всех остальных значениях х оба выражения имеют одно и то же числовое значение, то мы вправе считать их тождественными.
На основании сказанного дадим такое определение тождественных выражений:
1. Выражения называются тождественными, если они имеют одинаковые числовые значения при всех допустимых значениях входящих в них букв.
Если два тождественных выражения соединим знаком равенства, то получим тождество. Значит:
2. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него букв.
Мы уже раньше встречались с тождествами. Так, например, тождествами являются все равенства, которыми мы выражали основные законы сложения и умножения.
Например, равенства, выражающие переместительный закон сложения
и сочетательный закон умножения
справедливы для любых значений букв. Значит, эти равенства являются тождествами.
Тождествами считаются также все верные арифметические равенства, например:
В алгебре часто приходится какое-либо выражение заменять другим, ему тождественным. Пусть, например, требуется найти значение выражения
Мы значительно облегчим вычисления, если данное выражение заменим выражением, ему тождественным. На основании распределительного закона можем записать:
Но числа в скобках дают в сумме 100. Значит, имеем тождество:
Подставив в правую часть его 6,53 вместо а, сразу (в уме) найдём числовую величину (653) данного выражения.
Замена одного выражения другим, тождественным ему, называется тождественным преобразованием этого выражения.
Напомним, что всякое алгебраическое выражение при любых допустимых значениях букв является некоторым
числом. Отсюда следует, что к алгебраическим выражениям применимы все законы и свойства арифметических действий, которые были приведены в предыдущей главе. Итак, применение законов и свойств арифметических действий преобразует данное алгебраическое выражение в тождественное ему выражение.
Тождественные преобразования
1. Понятие тождества. Основные типы тождественных преобразований и этапы их изучения.
11чучение различных преобразований выражений и формул занимает нищ.шую часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие ^"«образования, опирающиеся на свойства арифметических операций, произ- 1Ч-.Я уже в начальной школе. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры 1 >то связано:
с резким увеличением числа совершаемых преобразований, их разно- оПришсм;
с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости;
i) с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования, логического следования.
Линия тождественных преобразований получает следующее развитие в курсе алгебры основной школы:
,4 б классы - раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, выне- М(Чшо множителя за скобки;
7 класс - тождественные преобразования целых и дробных выражений;
Н класс - тождественные преобразования выражений, содержащих квад- с корни;
( > класс - тождественные преобразования тригонометрических выражений и ммрижсний, содержащих степень с рациональным показателем.
Линия тождественных преобразований является одной из важных идейны ч линий курса алгебры. Поэтому обучение математике в 5-6 классах строится niKiiM образом, чтобы учащиеся уже в этих классах приобрели навыки простейших тождественных преобразований (без употребления термина «тождест- неиные преобразования»). Эти навыки формируются при выполнении упражнении на приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок и заключение в скобки, вынесение множителя за скобки и т.д. Рассматриваются также простейшие преобразования числовых и буквенных выражений. На этом уровне обучения осваиваются преобразования, которые выполняются непосредственно на основе законов и свойств арифметических действий.
К основным видам задач в 5-6-х классах, при решении которых активно используются свойства и законы арифметических действий и через которые формируются навыки тождественных преобразований, относятся:
обоснование алгоритмов выполнения действий над числами изучаемых числовых множеств;
вычисление значений числового выражения наиболее рациональным способом;
сравнение значений числовых выражений без выполнения указанных действий;
упрощение буквенных выражений;
доказательство равенства значений двух буквенных выражений и т.д.
Представьте число 153 в виде суммы разрядных слагаемых; в виде разности двух чисел, в виде произведения двух чисел.
Представьте число 27 в виде произведений трех одинаковых множителей.
Эти упражнения на представление одного и того же числа в разных формах записи содействуют усвоению понятия о тождественных преобразованиях. Вначале эти представления могут быть произвольными, в дальнейшем - целенаправленными. Например, представление в виде суммы разрядных слагаемых используется для объяснения правил сложения натуральных чисел «столбиком», представление в виде суммы или разности «удобных» чисел - для выполнения быстрых вычислений различных произведений, представление в виде произведения множителей - для упрощения различных дробных выражений.
Найдите значение выражения 928 36 + 72 36.
Рациональный способ вычисления значения данного выражения основан на использовании распределительного закона умножения относительно сложения: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.
В школьном курсе математики можно выделить следующие этапы освоения применений преобразований буквенно-числовых выражений и формул.
этап. Начала алгебры. На этом этапе используется нерасчлененная система преобразований; она представлена правилами выполнения действий над одной или обеими частями формулы.
Пример. Решить уравнения:
а) 5х - Ъх = 2; б) 5х = Зх + 2; в) 6 (2 - 4у) + 5у = 3 (1 - Зу).
Общая идея решения состоит в упрощении данных формул с помощью нескольких правил. В первом задании упрощение достигается при помощи применения тождества: 5х - Ъх = (5 - 3)х. Основанное на этом тождестве тождественное преобразование переводит данное уравнение в равносильное ему уршшомие 2х - 2.
Второе уравнение требует для своего решения не только тождественного, но н ринноеильного преобразования; в таком качестве здесь используется пра- ||н по переноса членов уравнения из одной части уравнения в другую с измененном шика. В решении уже такого простого задания, как б), используются оба пн in преобразований - и тождественное, и равносильное. Это положение со- чриниотся и для более громоздких заданий, таких, как третье.
Моль первого этапа - научить быстро решать простейшие уравнения, упрощать формулы, задающие функции, рационально проводить вычисления с опорой на свойства действий.
тит. Формирование навыков применения конкретных видов преобразова- II tilt 11онятия тождества и тождественного преобразования явно вводятся в курсе шн"сбры 7 класса. Так, например, в учебнике Ю. Н. Макарычева «Алгебра 7» ннп"шле вводится понятие тождественно равных выражений: «Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, шпыняются тождественно равными», затем понятие тождества: «Равенство, парное при любых значениях переменных, называется тождеством».
11риводятся примеры:
В
учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра 7»
приводится сразу и уточненное
понятие тождества: «Тождество
-
это равенство, верное при
любых допустимых
значениях входящих в его состав
переменных».
11ри введении понятия тождественного преобразования следует прежде всего покичать целесообразность изучения тождественных преобразований. Для этого можно рассмотреть различные упражнения на нахождение значения выражений.
liiiipiiMep, найти значение выражения 37,1х + 37,ly при х = 0,98, у = 0,02. Ис- пошлуя распределительное свойство умножения, выражение 37,1л + 37,1 у можно щмоиить выражением 37,1(х + у), тождественно равным ему. Ещё более впе- чи глист 1 решение следующего упражнения: найти значение выражения
()-(а-6)_ п р и. а) д = з > ^ = 2; б) а = 121, Ъ - 38; в) а = 2,52, Ъ= 1 -.
ab 9
11осле проведенных преобразований оказывается, что множество значений это- ю ныражения состоит из одного числа 4.
В учебнике Ю. Н. Макарычева «Алгебра 7» введение понятия тождест- игппого преобразования мотивируется рассмотрением примера: «Чтобы найти значение выражения ху--да при х = 2,3; у = 0,8; z = 0,2, надо выполнить 3 действия: ху - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.
11собходимо отметить один тип преобразований, специфический для кур- ш алгебры и начал анализа. Это преобразования выражений, содержащих пре- переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференциро- пниия и интегрирования. Основное отличие этих «аналитических» преобразо- ИНИИЙ от «алгебраических» преобразований состоит в характере множества, ко- трое пробегают переменные в тождествах. В алгебраических тождествах переменные пробегают числовые области, а в аналитических этими множествами ■шляются определенные множества функций. Например, правило дифференци- роишшя суммы: (Z"+g)" здесь/и g- переменные, пробегающие множе-
I I но дифференцируемых функций с общей областью определения. Внешне эти преобразования сходны с преобразованиями алгебраического типа, поэтому иногда говорят «алгебра пределов», «алгебра дифференцирования».
Тождества, изучаемые в школьном курсе алгебры и алгебраическом май-риале курса алгебры и начал анализа, можно разделить на два класса.
Первый состоит из тождеств сокращенного умножения, справедливых в
ав в.
iiioGom коммутативном кольце, и тождества -=-,а* 0, справедливого в лю-
Оом поле.
Второй класс образован тождествами, связывающими арифметические чнграции и основные элементарные функции, а также композиции элементар- Hhix функций. Большинство тождеств этого класса также имеет общую математическую основу, состоящую в том, что степенная, показательная и логарифмическая функции являются изоморфизмами различных числовых групп. Например, имеет место утверждение: существует единственное непрерывное изоморфное отображение / аддитивной группы действительных чисел в мультипликативную группу положительных действительных чисел, при котором единица о тображается в заданное число а> 0, а Ф 1; это отображение задается по- инательной функцией с основанием а: /(х) = а. Аналогичные утверждения имеются и для степенной и логарифмической функций.
Методика изучения тождеств обоих классов обладает многими общими чгртами. В целом тождественные преобразования, изучаемые в школьном курсе математики, включают:
преобразования выражений, содержащих радикалы и степени с дробим ми показателями;
преобразования выражений, содержащих предельные переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференцирования и интегрирования.
Этот результат можно получить выполнив лишь два действия,-если воспользоваться выражением х (у-z), тождественно равным выражению xy-xz: х (у-Z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.
Мы упростили вычисления, заменив выражение xy-xz тождественно равным выражением х (у - z).
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения».
Освоение различных видов преобразований на этом этапе начинается с введения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваются преобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различными классами элементарных функций - показательных, степенных, логарифмических, тригонометрических. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерных особенностей.
По мере накопления материала появляется возможность выделить и на этой основе ввести понятия тождественного и равносильного преобразований.
Следует заметить, что понятие тождественного преобразования дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, а только в применении к выражениям. Преобразования разделяются на два класса: тождественные преобразования - это преобразования выражений, а равносильные - преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощении одной части формулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит аргументом применяемого тождественного преобразования. Например, уравнения 5х - Зх - 2 и 2х = 2 считаются не просто равносильными, а одинаковыми.
В учебниках алгебры Ш.А. Алимова и др. понятие тождества явно не вводится в 7-8-х классах и только в 9 классе в теме «Тригонометрические тождества» при решении задачи 1: «Доказать, что при афкк, к < eZ , справедливо равенство 1 + ctg 2 а = -\-» вводится это понятие. Здесь учащимся поясняется, что sin а
указанное равенство «справедливо для всех допустимых значений а, т.е. таких, при которых его левая и правая части имеют смысл. Такие равенства называют тождествами, а задачи на доказательства таких равенств называют задачами на доказательство тождеств».
III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
Основная цель этого этапа состоит в формировании гибкого и мощного аппарата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий.
Развертывание второго этапа изучения преобразований происходит на протяжении всего курса алгебры основной школы. Переход к третьему этапу осуществляется при итоговом повторении курса в ходе осмысления уже известного материала, усвоенного по частям, по отдельным типам преобразований.
В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, в основном уже сформированная, продолжает постепенно совершенствоваться. К ней также добавляются некоторые новые виды преобразований (например, относящиеся к тригонометрическим и логарифмическим функциям), однако они только обогащают её, расширяют её возможности, но не меняют её структуру.
Методика изучения этих новых преобразований практически не отличается от применяемой в курсе алгебры.
Необходимо отметить один тип преобразований, специфический для курен алгебры и начал анализа. Это преобразования выражений, содержащих предельные переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференцирования и интегрирования. Основное отличие этих «аналитических» преобразо- 1иший от «алгебраических» преобразований состоит в характере множества, ко- горое пробегают переменные в тождествах. В алгебраических тождествах переменные пробегают числовые области, а в аналитических этими множествами мияяются определенные множества функций. Например, правило дифференци- рования суммы: ( f + g )" = f + g "; здесь fug - переменные, пробегающие множе- ет но дифференцируемых функций с общей областью определения. Внешне эти преобразования сходны с преобразованиями алгебраического типа, поэтому иногда говорят «алгебра пределов», «алгебра дифференцирования».
Тождества, изучаемые в школьном курсе алгебры и алгебраическом материале курса алгебры и начал анализа, можно разделить на два класса.
Первый состоит из тождеств сокращенного умножения, справедливых в
любом коммутативном кольце, и тождества - =-,а*0, справедливого в лю-
ас с
Второй класс образован тождествами, связывающими арифметические операции и основные элементарные функции, а также композиции элементарных функций. Большинство тождеств этого класса также имеет общую матема- гическую основу, состоящую в том, что степенная, показательная и логарифмическая функции являются изоморфизмами различных числовых групп. Например, имеет место утверждение: существует единственное непрерывное изоморфное отображение / аддитивной группы действительных чисел в мультипликативную группу положительных действительных чисел, при котором единица отображается в заданное число а> 0, а Ф 1; это отображение задается показательной функцией с основанием я: / (х) = а*. Аналогичные утверждения имеются и для степенной и логарифмической функций.
Методика изучения тождеств обоих классов обладает многими общими чертами. В целом тождественные преобразования, изучаемые в школьном курсе математики, включают:
преобразования алгебраических выражений;
преобразования выражений, содержащих радикалы и степени с дробными показателями;
преобразования тригонометрических выражений;
преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы;
преобразования выражений, содержащих предельные переходы, и преобразования, основанные на правилах, дифференцирования и интегрирования.
2. Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований
Основной принцип организации любой системы заданий - предъявление их от простого к сложному с учетом необходимости преодоления учениками посильных трудностей и создания проблемных ситуаций. Этот основной прин- цип требует конкретизации применительно к особенностям данного учебного материала. Приведем пример системы упражнений по теме: «Квадрат суммы и
разности двух чисел».
I la этом основная система упражнений заканчивается. Такая система должна обеспечить усвоение базисного материала.
Следующие упражнения (17-19) позволяют акцентировать внимание учащихся на типичных ошибках и способствуют развитию интереса и их творческих 1 пособиостей.
В каждом конкретном случае число упражнений в системе может быть меньше или больше, но последовательность их выполнения должна быть такой же.
Для описания различных систем заданий в методике математики исполь- lyri oi ещё понятие цикла упражнений. Цикл упражнений характеризуется тем, по соединяются в последовательность упражнения нескольких аспектов изучении и приемов расположения материала. По отношению к тождественным преобразованиям представление о цикле можно дать следующим образом.
11икл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В " остан цикла наряду с исполнительными входят задания, требующиераспозна- < ii in ни применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применяется для проведения вычислений на различных числовых областях.
Задания в каждом цикле разбиты на две группы. К первой относятся задания, ш.шолняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они выполняются на нескольких уроках, объединенных одной темой. Вторая группа упражнений связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Упражнения из этой группы обычно разбросаны по различным темам.
Описанная структура цикла относится к этапу формирования навыков применения конкретных видов преобразований. На заключительном этапе - (Тане синтеза, циклы видоизменяются. Во-первых, объединяются обе группы шдапий, образующие «развернутый» цикл , причем из первой группы исключаются наиболее простые по формулировкам или по сложности выполнения запиши. Оставшиеся типы заданий усложняются. Во-вторых, происходит слияние циклов, относящихся к различным тождествам, в силу этого повышается роль действий по распознаванию применимости того или иного тождества.
11рннсдем конкретный пример цикла.
Пример. Цикл заданий для тождества х -у 2 = (х-у)(х +у).
Выполнение первой группы заданий этого цикла происходит в следую-
щих условиях. Ученики только что ознакомились с формулировкой тождества (вернее, с двумя формулировками: «Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы и разности данных выражений» и «Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений»), его записью в виде формулы, доказательством. После этого приведено несколько образцов использования преобразования, основанного на этом тождестве. Наконец, ученики приступают к самостоятельному выполнению упражнений.
Первая группа заданий
Вторая группа заданий
(Задания каждой группы можно представить студентам с помощью мультимедийного проектора)
Проведем методический анализ этой системы типов заданий.
Задание а0 имеет целью фиксировать структуру изучаемого тождества. Это достигается заменой букв (х и у) в записи тождества другими буквами. Задания этого типа позволяют уточнить связь между словесным выражением и символической формой тождества.
Задание а 2) ориентировано на установление связи данного тождества с числовой системой. Преобразуемое выражение является здесь не чисто буквенным, а буквенно-числовым. Для описания производимых действий необходимо использовать понятие замещения буквы числом в тождестве. Развитие навыков
применения операции замещения и углубление представления о ней осуществ- ш I гм при выполнении заданий типа г 2).
Следующий шаг в освоении тождества иллюстрируется заданием аз). В ном задании предложенное для преобразования выражение не имеет вида раз- пип н квадратов; преобразование становится возможным лишь тогда, когда. ч(чп1к заметит, что число 121 можно представить в виде квадрата числа. Таким иПриюм, выполнение этого задания производится не в один шаг, а в два: на пер- iiiiu происходит распознавание возможности приведения данного выражения к мпду разности квадратов, на втором производится преобразование, использующее тождество.
11а первых порах освоения тождества производится запись каждого шага:
I " I /с 2 = 11 2 - & 2 = (11 - £)(11 + к), в дальнейшем некоторые операции по распознаванию выполняются учениками устно.
В примере дг) требуется установить связи данного тождества и других, относящихся к действиям с одночленами; в д 3) следует применить тождество для разности квадратов дважды; в ж) ученикам придется преодолеть определенный психологический барьер, осуществляя выход в область иррациональных чисел.
Задания типа б) направлены на формирование навыков замены произведении (,v - у)(х + у) на разность х 2 - у 2 . Аналогичную роль играют задания типа в). В примерах типа г) требуется выбрать одно из направлений преобразований.
В целом задания первой группы ориентированы на усвоение структуры шждества, операции замещения в простейших наиболее важных случаях и представления об обратимости преобразований, осуществляемых тождеством,
Основные особенности и цели, раскрытые нами при рассмотрении первой | руины заданий цикла, относятся к любому циклу упражнений, формирующему штыки использования тождества. Для любого вновь вводимого тождества пер- иим группа заданий в цикле должна сохранять описанные здесь особенности; различия могут быть только в количестве заданий.
1 Вторая группа заданий в цикле, в отличие от первой, направлена на возможно более полное использование и учет специфики именно данного тожде- t i пи. Задания этой группы предполагают уже сформированными навыки использования тождества для разности квадратов (в наиболее простых случаях); цпи, заданий этой группы - углубить понимание тождества за счет рассмотрении разнообразных приложений его в различных ситуациях, в сочетании с использованием материала, относящегося к другим темам курса математики.
Рассмотрим решение задания л):
х 3 - 4х= 15 о х 3 - 9х = 15 - 5х о х(х~3)(х + 3) = 5(3 -х) ох = 3, или \{\ 1-3) = -5. Уравнение х(х + 3) = -5 действительных корней не имеет, поэтому \ 3 - единственный корень уравнения.
Мы видим, что использование тождества для разности квадратов составляет ч п и I ь часть в решении примера, являясь ведущей идеей проведения преобразований.
Циклы заданий, связанных с тождествами для элементарных функций, имеют свои особенности, которые обусловлены тем, что, во-пеувых . соответст- иутощие тождества изучаются в связи с изучением функционального материала и, /и>-«тоуых, они появляются позже тождеств первой группы и изучаются с
использованием уже сформированных навыков проведения тождественных преобразований. Значительная часть использования тождественных преобразований, связанных с элементарными функциями, приходится на решение иррациональных и трансцендентных уравнений. В циклы, относящиеся к усвоению тождеств, входят только наиболее простые уравнения, но уже здесь целесообразно проводить работу по усвоению приема решения таких уравнений: сведение его путем замены неизвестного к алгебраическому уравнению.
Последовательность шагов при этом способе решения такова:
а) найти функцию <р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;
б) произвести подстановку у = ср(х) и решить уравнение F(y) = 0;
в) решить каждое из уравнений <р(х) = где {у к } - множество корней уравнения F(y) = 0.
Новым вопросом, который необходимо учитывать при изучении тождеств с элементарными функциями, является рассмотрение области определения. Приведем примеры трех заданий:
а) Построить график функции у = 4 log 2 x .
б) Решить уравнение lg х + lg (х - 3) = 1.
в) На каком множестве формула lg (х - 5) + lg (х + 5) = lg (х 2 - 25) является тождеством?
Типичная ошибка, которую совершают ученики в решении задания а) состоит в использовании равенства а 1ое й без учета условия Ъ > 0. В данном случае в итоге искомый график оказывается имеющим вид параболы вместо верного ответа - правой ветви параболы. В задании б) показан один из источников получения сложных систем уравнений и неравенств, когда необходимо учитывать области определения функций, а в задании в) - упражнение, которое может служить подготовительным.
Идея, которой объединены эти задания - необходимость изучения области определения функции, может выявиться только при сопоставлении таких, разнородных по внешней форме заданий. Значение этой идеи для математики очень велико. Она может служить основой нескольких циклов упражнений - по каждому из классов элементарных функций.
В заключение заметим, что изучение тождественных преобразований в школе имеет большое воспитательное значение. Умение делать какие-то выкладки, проводить расчеты, в течение длительного времени с неослабным вниманием следить за некоторым объектом необходимо людям самых разнообразных профессий, независимо от того, работают ли они в сфере умственного или физического труда. Специфика раздела «Тождественные преобразования выражений» такова, что он открывает широкие возможности для выработки у учащихся этих важных профессионально-значимых умений.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Тождества. Тождественные преобразования выражений. 7 класс.
Найдем значение выражений при х=5 и у=4 3(х+у)= 3(5+4)=3*9=27 3х+3у= 3*5+3*4=27 Найдем значение выражений при х=6 и у=5 3(х+у)= 3(6+5)=3*11=33 3х+3у= 3*6+3*5=33
ВЫВОД: Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х+у) и 3х+3у равны. 3(х+у) = 3х+3у
Рассмотрим теперь выражения 2х+у и 2ху. при х=1 и у=2 они принимают равные значения: 2х+у=2*1+2=4 2ху=2*1*2=4 при х=3, у=4 значения выражений разные 2х+у=2*3+4=10 2ху=2*3*4=24
ВЫВОД: Выражения 3(х+у) и 3х+3у являются тождественно равными, а выражения 2х+у и 2ху не являются тождественно равными. Определение: Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
ТОЖДЕСТВО Равенство 3(х+у) и 3х+3у верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами. Определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством. Тождествами считают и верные числовые равенства. С тождествами мы уже встречались.
Тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac
Можно привести и другие примеры тождеств: а + 0 = а а * 1 = а а + (-а) = 0 а * (- b) = - ab а- b = a + (- b) (-a) * (-b) = ab Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Пример 1. Приведем подобные слагаемые 5х +2х-3х=х(5+2-3)=4х
Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а + (b -3 c) = 2 a + b – 3 c
Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Пример 3. Раскроем скобки в выражении а – (4 b – с) = a – 4 b + c
Домашнее задание: п. 5, №91, 97, 99 Спасибо за урок!
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методика подготовки учащихся к ЕГЭ по разделу "Выражения и преобразование выражений"
Данный проект разработан с целью подготовки учащихся к государственным экзаменам в 9 классе и в дальнейшем к единому государственному экзамену в 11 классе....