Функция распределения двумерной случайной величины пример. Закон распределения двумерной случайной величины
Пусть дана двумерная случайная величина $(X,Y)$.
Определение 1
Законом распределения двумерной случайной величины $(X,Y)$ - называется множество возможных пар чисел $(x_i,\ y_j)$ (где $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) и их вероятностей $p_{ij}$.
Чаще всего закон распределения двумерной случайной величины записывается в виде таблицы (Таблица 1).
Рисунок 1. Закон распределения двумерной случайной величины.
Вспомним теперь теорему о сложении вероятностей независимых событий.
Теорема 1
Вероятность суммы конечного числа независимых событий ${\ A}_1$, ${\ A}_2$, ... ,$\ {\ A}_n$ вычисляется по формуле:
Пользуясь этой формулой можно получить законы распределения для каждой компоненты двумерной случайной величины, то есть:
Отсюда будет следовать, что сумма всех вероятностей двумерной системы имеет следующий вид:
Рассмотрим подробно (поэтапно) задачу, связанную с понятием закона распределения двумерной случайной величины.
Пример 1
Закон распределения двумерной случайной величины задан следующей таблицей:
Рисунок 2.
Найти законы распределения случайных величин $X,\ Y$, $X+Y$ и проверить в каждом случае выполнение равенства полной суммы вероятностей единице.
- Найдем сначала распределение случайной величины $X$. Случайная величина $X$ может принимать значения $x_1=2,$ $x_2=3$, $x_3=5$. Для нахождения распределения будем пользоваться теоремой 1.
Найдем вначале сумму вероятностей $x_1$ следующим образом:
Рисунок 3.
Аналогично найдем $P\left(x_2\right)$ и $P\left(x_3\right)$:
\ \
Рисунок 4.
- Найдем теперь распределение случайной величины $Y$. Случайная величина $Y$ может принимать значения $x_1=1,$ $x_2=3$, $x_3=4$. Для нахождения распределения будем пользоваться теоремой 1.
Найдем вначале сумму вероятностей $y_1$ следующим образом:
Рисунок 5.
Аналогично найдем $P\left(y_2\right)$ и $P\left(y_3\right)$:
\ \
Значит, закон распределения величины $X$ имеет следующий вид:
Рисунок 6.
Проверим выполнение равенства полной суммы вероятностей:
- Осталось найти закон распределения случайной величины $X+Y$.
Обозначим её для удобства через $Z$: $Z=X+Y$.
Вначале найдем, какие значения может принимать данная величина. Для этого будем попарно складывать значения величин $X$ и $Y$. Получим следующие значения: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Теперь, отбрасывая совпавшие величины, получим, что случайная величина $X+Y$ может принимать значения $z_1=3,\ z_2=4,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $
Найдем для начала $P(z_1)$. Так как значение $z_1$ единично, то оно находится следующим образом:
Рисунок 7.
Аналогично находятся се вероятности, кроме $P(z_4)$:
Найдем теперь $P(z_4)$ следующим образом:
Рисунок 8.
Значит, закон распределения величины $Z$ имеет следующий вид:
Рисунок 9.
Проверим выполнение равенства полной суммы вероятностей:
Совокупность случайных величин Х 1 ,Х 2 ,...,Х п , определенных на вероятностном пространстве () образует п- мерную случайную величину (Х 1 ,Х 2 ,...,Х п ). Если экономический процесс описывается при помощи двух случайных величин Х 1 и Х 2 , тоопределяется двумерная случайная величина (Х 1 ,Х 2)или(X ,Y ).
Функцией распределения системы двух случайных величин (Х ,Y ), рассматриваемой как функция переменных называется вероятность появления события :
Значения функции распределения удовлетворяют неравенству
С геометрической точки зрения функция распределения F (x ,y ) определяет вероятность того, что случайная точка (х ,Y ) попадет в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х ,у ), так как точка (х ,Y )будет ниже и левее указанной вершины (рис.9.1).
х ,Y ) в полуполосу (рис.9.2) или в полуполосу (рис.9.3) выражается формулами:
соответственно. Вероятность попадания значений х ,Y ) в прямоугольник (рис.9.4) можно найти по формуле:
Рис.9.2 Рис.9.3 Рис.9.4
Дискретной называют двухмерную величину, составляющие которой дискретны.
Законом распределения двумерной дискретной случайной величины (X ,Y ) называется множество всевозможных значений (x i , y j ), , дискретных случайных величин Х и Y и соответствующих им вероятностей , характеризующих вероятность того, что составляющая Х примет значение x i и одновременно с этим составляющая Y примет значение y j , причем
Закон распределениядвумерной дискретной случайной величины (X ,Y ) задают в виде табл. 9.1.
Таблица 9.1
Ω Х Ω Y | x 1 | x 2 | … | x i | … |
y 1 | p (x 1 ,y 1) | p (x 2 ,y 1) | … | p(x i ,y 1) | … |
y 2 | p (x 1 ,y 2) | p (x 2 ,y 2) | … | p(x i ,y 2) | … |
… | … | … | … | … | … |
y i | p (x 1 ,y i ) | p (x 2 ,y i ) | … | p(x i ,y i ) | … |
… | … | … | … | … | … |
Непрерывной называют двумерную случайную величину, составляющие которой непрерывны. Функция р (х ,у ), равная пределу отношения вероятности попадания двумерной случайной величины (X ,Y )в прямоугольник со сторонами и к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю, называется плотностью распределения вероятностей:
Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле:
Во всех точках, где существует смешанная производная второго порядка функции распределения , плотность распределения вероятностей можно найти по формуле:
Вероятность попадания случайной точки (х ,у ) в область D определяется равенством:
Вероятность того, что случайная величина X приняла значение X<х при условии, что случайная величина Y приняла фиксированное значение Y =y , вычисляется по формуле:
Аналогично,
Формулы для вычисления условных плотностей распределения вероятностей составляющих X и Y :
Совокупность условных вероятностей p (x 1 |y i ), p (x 2 |y i ), …, p (x i |y i ), … отвечающих условию Y=y i , называется условным распределением составляющей Х при Y=y i X ,Y ), где
Аналогично условное распределение составляющей Y при Х=х i дискретной двумерной случайной величины (х ,Y ) – это совокупность условных вероятностей отвечающих условию X=x i , где
Начальным моментом порядка k+s двумерной случайной величины (X ,Y и , т.е. .
Если X и Y – дискретные случайные величины, то
Если X и Y – непрерывные случайные величины, то
Центральным моментом порядка k+s двумерной случайной величины (X ,Y )называется математическое ожидание произведений и ,т.е.
Если составляющие величины являются дискретными, то
Если составляющие величины являются непрерывными, то
где р (х ,y ) – плотность распределения двумерной случайной величины (X ,Y ).
Условным математическим ожиданием Y (X )при X=х (при Y=у ) называется выражение вида:
– для дискретной случайной величины Y (X );
– для непрерывной случайной величины Y (X ).
Математические ожидания составляющих X и Y двумерной случайной величины вычисляются по формулам:
Корреляционным моментом независимых случайных величин X и Y ,входящих в двумерную случайную величину (X ,Y ), называют математическое ожидание произведений отклонений этих величин:
Корреляционный момент двух независимых случайных величин X X ,Y), равен нулю.
Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y, входящих в двумерную случайную величину (X ,Y ), называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:
Коэффициент корреляции характеризуют степень (тесноту) линейной корреляционной зависимости между X и Y .Случайные величины, для которых , называются некоррелированными.
Коэффициент корреляции удовлетворяет свойствам:
1. Коэффициент корреляциине зависит от единиц измерения случайных величин.
2. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицу:
3. Если то между составляющими X и Y случайной величины (X, Y) существует линейная функциональная зависимость:
4. Если то составляющие X и Y двумерной случайной величины некоррелированы.
5. Если то составляющие X и Y двумерной случайной величины зависимы.
Уравнения M (X|Y=у )=φ(у )и M (Y|X=х )=ψ(x )называют уравнениями регрессии, а линии, определяемые ими, – линиями регрессии.
Задачи
9.1. Двумерная дискретная случайная величина (X, Y) задана законом распределения:
Таблица 9.2
Ω х Ω y | ||||
0,2 | 0,15 | 0,08 | 0,05 | |
0,1 | 0,05 | 0,05 | 0,1 | |
0,05 | 0,07 | 0,08 | 0,02 |
Найти: а) законы распределения составляющих X и Y ;
б) условный закон распределения величины Y при X =1;
в) функцию распределения.
Выяснить, являются ли независимыми величины X и Y . Вычислить вероятность и основные числовые характеристики М (Х ), М (Y ), D (X ), D (Y ), R (X ,Y ), .
Решение. а)Случайные величины X и Y определены на множестве , состоящем из элементарных исходов, которое имеет вид:
Событию {X= 1} соответствует множество таких исходов, у которых первая компонента равна 1: (1;0), (1;1), (1;2). Эти исходы несовместимы. Вероятность того, что Х примет значение х i , согласно аксиоме 3 Колмогорова, равна:
Аналогично
Следовательно, маргинальное распределение составляющей Х , может быть задано в виде табл. 9.3.
Таблица 9.3
б) Совокупность условных вероятностей р (1;0), р (1;1), р (1;2) отвечающих условию X =1, называется условным распределением составляющей Y при X =1. Вероятность значений величины Y при Х =1 найдём при помощи формулы:
Поскольку , то, подставив значения соответствующих вероятностей, получаем
Итак, условное распределение составляющей Y при Х =1 имеет вид:
Таблица 9.5
y j | |||
0,48 | 0,30 | 0,22 |
Так как условный и безусловный законы распределения не совпадают (см. табл. 9.4 и 9.5), то величины X и Y зависимы. Этот вывод подтверждается тем, что не выполняется равенство
для любой пары возможных значений X и Y .
Например,
в) Функция распределения F (x ,y ) двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид:
где суммирование выполняется по всем точкам (), для которых одновременно выполняются неравенства x i
Результат удобнее представлять в виде табл.9.6.
Таблица 9.6
х y | |||||
0,20 | 0,35 | 0,43 | 0,48 | ||
0,30 | 0,5 | 0,63 | 0,78 | ||
0,35 | 0,62 | 0,83 |
Воспользуемся формулами для начальных моментов и результатами таблиц 9.3 и 9.4 и вычислим математические ожидания составляющих X и Y :
Дисперсии вычислим через второй начальный момент и результаты табл. 9.3 и 9.4:
Для вычисления ковариации К (X,Y ) используем аналогичную формулу через начальный момент:
Коэффициент корреляции определяется по формуле:
Искомая вероятность определяется как вероятность попадания в область на плоскости, определяемую соответствующим неравенством:
9.2. Кораблем передается сообщение «SOS», которое может быть принято двумя радиостанциями. Этот сигнал может быть принят одной радиостанцией независимо от другой. Вероятность того, что сигнал принят первой радиостанцией, составляет 0,95; вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией, равна 0,85. Найти закон распределения двумерной случайной величины, характеризующей прием сигнала двумя радиостанциями. Написать функцию распределения.
Решение: Пусть X – событие, состоящее в том, что сигнал принимает первая радиостанция. Y – событие состоит в том, что сигнал принимает вторая радиостанция.
Множество значений .
Х =1 – сигнал принят первой радиостанцией;
Х =0 – сигнал не принят первой радиостанцией.
Множество значений .
Y =l – сигнал принят второй радиостанцией,
Y =0 – сигнал не принят второй радиостанцией.
Вероятность того, что сигнал не принят ни первой, ни второй радиостанциями равна:
Вероятность принятия сигнала первой радиостанцией:
Вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией:
Вероятность того, что сигнал принят и первой и второй радиостанциями, равна: .
Тогда закон распределения двумерной случайной величины равен:
y x | ||
0,007 | 0,142 | |
0,042 | 0,807 |
х ,y ) значение F (х ,y )равно сумме вероятностей тех возможных значений случайной величины (X ,Y ), которые попадают внутрь указанного прямоугольника.
Тогда функция распределения будет иметь вид:
9.3. Две фирмы выпускают одинаковую продукцию. Каждая независимо от другой может принять решение о модернизации производства. Вероятность того, что первая фирма приняла такое решение, равна 0,6. Вероятность принятия такого решения второй фирмой равна 0,65. Написать закон распределения двумерной случайной величины, характеризующей принятие решения о модернизации производства двух фирм. Написать функцию распределения.
Ответ: Закон распределения:
0,14 | 0,21 | |
0,26 | 0,39 |
При каждом фиксированном значении точки с координатами (x ,y ) значение равно сумме вероятностей тех возможных значений , которые попадают внутрь указанного прямоугольника .
9.4. На токарном станке-автомате изготавливаются поршневые кольца для двигателей автомобиля. Измеряются толщина кольца (случайная величина X )и диаметр отверстия (случайная величина Y ). Известно, что около 5% всех поршневых колец бракованные. Причем, 3% брака обусловлены нестандартными диаметрами отверстий, 1% – нестандартной толщиной и 1 % – бракуют по обоим признакам. Найти: совместное распределение двумерной случайной величины (X ,Y ); одномерные распределения составляющих Х и Y ;математические ожидания составляющих X и Y ; корреляционный момент и коэффициент корреляции между составляющими X и Y двумерной случайной величины (Х ,Y ).
Ответ: Закон распределения:
0,01 | 0,03 | |
0,01 | 0,95 |
; ; ; ; ; .
9.5. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта В – 3,5%. Стандартная продукция составляет 96%. Определить какой процент всей продукции обладает дефектами обоих типов.
9.6. Случайная величина (X ,Y )распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R , вершины которого имеют координаты (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Определить плотность распределения случайной величины (X ,Y )и условные плотности распределения р (х \у ), р (у \х ).
Решение. Построим на плоскости x 0y заданный квадрат (рис.9.5) и определим уравнения сторон квадрата ABCD, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две заданные точки: Подставив координаты вершин А и В получим последовательно уравнение стороны АВ : или .
Аналогично находим уравнение стороны ВС : ;стороны CD : и стороны DA : . : .D X , Y ) представляет собой полушар с центром в начале координат радиуса R .Найти плотность распределения вероятностей.
Ответ:
9.10. Задана дискретная двумерная случайная величина:
0,25 | 0,10 | |
0,15 | 0,05 | |
0,32 | 0,13 |
Найти: а) условный закон распределения X , при условии, что у= 10;
б) условный закон распределения Y , при условии, что x =10;
в) математическое ожидание, дисперсию, коэффициент корреляции.
9.11. Непрерывная двумерная случайная величина (X ,Y )равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами О (0;0), А (0;8), В (8,0).
Найти: а) плотность распределения вероятностей;
двумерный дискретный распределение случайный
Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами: . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно охарактеризовать следующими случайными величинами: Х 1 - температура, Х 2 - давление, Х 3 - влажность воздуха, Х 4 - скорость ветра.
В этом случае говорят о многомерной случайной величине или о системе случайных величин.
Рассмотрим двумерную случайную величину, возможные значения которой есть пары чисел. Геометрически двумерную случайную величину можно истолковать как случайную точку на плоскости.
Если составляющие Х и Y - дискретные случайные величины, то - дискретная двумерная случайная величина, а если Х и Y - непрерывные, то - непрерывная двумерная случайная величина.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения двумерной дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом (см. таблица 6.1), где - вероятность того, что составляющая Х приняла значение x i , а составляющая Y - значение y j .
Таблица 6.1.1.
y 1 |
y 2 |
y j |
y m |
|||
x 1 |
p 11 |
p 12 |
p 1j |
p 1m |
||
x 2 |
p 21 |
p 22 |
p 2j |
p 2m |
||
x i |
p i1 |
p i2 |
p ij |
p im |
||
x n |
p n1 |
p n2 |
p nj |
p nm |
Так как события, составляют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей равна 1, т.е.
Из таблицы 6.1 можно найти законы распределения одномерных составляющих Х и Y .
Пример 6.1.1 . Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано распределение двумерной случайной величины в виде таблицы 6.1.2.
Таблица 6.1.2.
Если зафиксировать значение одного из аргументов, например, то полученное распределение величины Х называется условным распределением. Аналогично определяется условное распределение Y .
Пример 6.1.2 . По распределению двумерной случайной величины, заданной табл. 6.1.2, найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии; б) условный закон распределения Y при условии, что.
Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам
Условный закон распределения Х при условии имеет вид
Контроль: .
Закон распределения двумерной случайной величины можно задать в виде функции распределения , определяющей для каждой пары чисел вероятность того, что Х примет значение, меньшее х , и при этом Y примет значение, меньшее y :
Геометрически функция означает вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрат с вершиной в точке (рис. 6.1.1).
Отметим свойства.
- 1. Область значений функции - , т.е. .
- 2. Функция - неубывающая функция по каждому аргументу.
- 3. Имеют место предельные соотношения:
При функция распределения системы становится равной функции распределения составляющей Х , т.е. .
Аналогично, .
Зная, можно найти вероятность попадания случайной точки в пределы прямоугольника ABCD.
А именно,
Пример 6.1.3 . Двумерная дискретная случайная величина задана таблицей распределения
Найти функцию распределения.
Решение. Значение в случае дискретных составляющих Х и Y находится суммированием всех вероятностей с индексами i и j , для которых, . Тогда, если и, то (события и - невозможны). Аналогично получаем:
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то.
Полученные результаты оформим в виде таблицы (6.1.3) значений:
Для двумерной непрерывной случайной величины вводится понятие плотности вероятности
Геометрическая плотность вероятности представляет собой поверхность распределения в пространстве
Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:
3. Функция распределения может быть выражена через по формуле
4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в область равна
5. В соответствии со свойством (4) функции имеют место формулы:
Пример 6.1.4. Задана функция распределения двумерной случайной величины
Двумерной называют случайную величину (X , Y ), возможные значения которой есть пары чисел (x, у ). Составляющие X и Y , рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.
Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку M (Х ; Y ) на плоскости xOy либо как случайный вектор OM .
Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.
Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан: а) в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности; б) аналитически, например в виде функции распределения.
Функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию F(x, у) , определяющую для каждой пары чисел (x, у) вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y :
F(x, у) = Р(Х < x, Y < y).
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х, у) есть вероятность того, что случайная точка (X, Y ) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (x,y) , расположенный левее и ниже этой вершины.
Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».
Функция распределения обладает следующими свойствами:
Свойство 1 . Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству
0 ≤ F (x, у) ≤ 1.
Свойство 2 . Функция распределения есть неубывающая функция по каждому аргументу :
F(x 2 , y) ≥ F(x 1 , y), если x 2 > x 1 ,
F(x, y 2) ≥ F(x, y 1), если y 2 > y 1 .
Свойство 3 . Имеют место предельные соотношения :
1) F(–∞, y) = 0,
3) F(–∞, –∞) = 0,
2) F(x, –∞) = 0,
4) F(∞, ∞) = 1.
Свойство 4 . а) При у =∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X :
F(x, ∞) = F 1 (x).
б) При x = ∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y :
F(∞, y) = F 2 (y).
Используя функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник x 1 < X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :
P(x 1 < X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .
Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называют вторую смешанную производную от функции распределения:
Иногда вместо термина «двумерная плотность вероятности» используют термин «дифференциальная функция системы».
Плотность совместного распределения можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Dx и Dy к площади этого прямоугольника, когда обе его стороны стремятся к нулю; геометрически ее можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения .
Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле
Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D определяется равенством
Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:
Свойство 1 . Двумерная плотность вероятности неотрицательна :
f(x,y) ≥ 0.
Свойство 2 . Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице :
В частности, если все возможные значения (X, У) принадлежат конечной области D, то
226. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:
Найти законы распределения составляющих.
228. Задана функция распределения двумерной случайной величины
Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y x = 0, x = p/4, y = p/6, y = p/3.
229. Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y ) в прямоугольник, ограниченный прямыми x = 1, x = 2, y = 3, y = 5, если известна функция распределения
230. Задана функция распределения двумерной случайной величины
Найти двумерную плотность вероятности системы.
231. В круге x 2 + y 2 ≤ R 2 двумерная плотность вероятности ; вне круга f(x, y)= 0. Найти: а) постоянную C ; б) вероятность попадания случайной точки (X, Y ) в круг радиуса r = 1 с центром в начале координат, если R = 2.
232. В первом квадранте задана функция распределения системы двух случайных величин F(x, y) = 1 + 2 - x – 2 - y + 2 - x- y . Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) вероятность попадания случайной точки (X, Y ) в треугольник с вершинами A (1; 3), B (3; 3), C (2; 8).
8.2. Условные законы распределения вероятностей составляющих
дискретной двумерной случайной величины
Пусть составляющие X и Y дискретны и имеют соответственно следующие возможные значения: x 1 , x 2 , …, x n ; y 1 , y 2 , …, y m .
Условным распределением составляющей X при Y=y j (j сохраняет одно и то же значение при всех возможных значениях X) называют совокупность условных вероятностей
p(x 1 |y j), p(x 2 |y j), …, p(x n |y j).
Аналогично определяется условное распределение Y.
Условные вероятности составляющих X и Y вычисляют соответственно по формулам
Для контроля вычислений целесообразно убедиться, что сумма вероятностей условного распределения равна единице.
233. Задана дискретная двумерная случайная величина (X, Y ):
Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y =10; б) условный закон распределения Y при условии, что X =6.
8.3. Отыскание плотностей и условных законов распределения
составляющих непрерывной двумерной случайной величины
Плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей:
Здесь предполагается, что возможные значения каждой из составляющих принадлежат всей числовой оси; если же возможные значения принадлежат конечному интервалу, то в качестве пределов интегрирования принимают соответствующие конечные числа.
Условной плотностью распределения составляющей X при заданном значении Y = y называют отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей Y :
Аналогично определяется условная плотность распределения составляющей Y :
Если условные плотности распределения случайных величин X и Y равны их безусловным плотностям, то такие величины независимы.
Равномерным называют распределение двумерной непрерывной случайной величины (X, Y ), если в области, которой принадлежат все возможные значения (x, у ), плотность совместного распределения вероятностей сохраняет постоянное значение.
235. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y)
Найти: а) плотности распределения составляющих; б) условные плотности распределения, составляющих.
236. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y )
Найти: а) постоянный множитель C ; б) плотности распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих.
237. Непрерывная двумерная случайная величина (X, У ) распределена равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 2а и 2b, параллельными координатным осям. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.
238. Непрерывная двумерная случайная величина (X, У ) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами O (0; 0), А (0; 8), В (8;0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности распределения составляющих.
8.4. Числовые характеристики непрерывной системы
двух случайных величин
Зная плотности распределения составляющих X и Y непрерывной двумерной случайной величины (X, У), можно найти их математические ожидания и дисперсии:
Иногда удобнее использовать формулы, содержащие двумерную плотность вероятности (двойные интегралы берутся по области возможных значений системы):
Начальным, моментом n k, s порядка k+s системы (X, Y ) называют математическое ожидание произведения X k Y s :
n k, s = M.
В частности,
n 1,0 = M(X), n 0,1 = M(Y).
Центральным моментом m k, s порядка k+s системы (X, Y ) называют математическое ожидание произведения отклонений соответственно k -й и s -й степеней:
m k, s = M{ k ∙ s }.
В частности,
m 1,0 =M = 0, m 0,1 = M = 0;
m 2,0 =M 2 = D(X), m 0,2 = M 2 = D(Y);
Корреляционным моментом m xу системы (X, Y ) называют центральный момент m 1,1 порядка 1 + 1:
m xу = M{ ∙ }.
Коэффициентом корреляции величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:
r xy = m xy / (s x s y).
Коэффициент корреляции – безразмерная величина, причем |r xy | ≤ 1. Коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной связи между X и Y : чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к единице, тем связь сильнее; чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к нулю, тем связь слабее.
Коррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля.
Некоррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент равен нулю.
Две коррелированные величины также и зависимы; если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя сделать вывод о независимости этих величин (для нормально распределенных величин из некоррелированности этих величин вытекает их независимость).
Для непрерывных величин X и Y корреляционный момент может быть найден по формулам:
239. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y):
Найти: а) математические ожидания; б) дисперсии составляющих X и Y.
240. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y):
Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.
241. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y): f(x, y) = 2 cosx cosy в квадрате 0 ≤ x ≤p/4, 0 ≤ y ≤p/4; вне квадрата f(x, y) = 0. Найти математические ожидания составляющих.
242. Доказать, что если двумерную плотность вероятности системы случайных величин (X, Y ) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x , а другая – только от y , то величины X и Y независимы.
243. Доказать, что если X и Y связаны линейной зависимостью Y = aX + b , то абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице.
Решение . По определению коэффициента корреляции,
r xy = m xy / (s x s y).
m xу = M{ ∙ }. (*)
Найдем математическое ожидание Y :
M(Y) = M = aM(X) + b. (**)
Подставив (**) в (*), после элементарных преобразований получим
m xу = aM 2 = aD(X) = as 2 x .
Учитывая, что
Y – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a,
найдем дисперсию Y :
D(Y) = M 2 = a 2 M 2 = a 2 s 2 x .
Отсюда s y = |a|s x . Следовательно, коэффициент корреляции
Если a > 0, то r xy = 1; если a < 0, то r xy = –1.
Итак, |r xy | = 1, что и требовалось доказать.