Неравенства с двумя переменными и их системы урок. Урок «Системы неравенств с двумя переменными
Решение неравенства с двумя переменными , а тем более системы неравенств с двумя переменными , представляется достаточно сложной задачей. Однако есть простой алгоритм, который помогает легко и без особых усилий решать на первый взгляд очень сложные задачи такого рода. Попробуем в нем разобраться.
Пусть мы имеем неравенство с двумя переменными одного из следующих видов:
y > f(x); y ≥ f(x); y < f(x); y ≤ f(x).
Для изображения множества решений такого неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:
1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.
2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.
3.
Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.
А теперь рассмотрим несколько задач на эту тему.
Задача 1.
Какое множество точек задается неравенством x · y ≤ 4?
Решение.
1) Строим график уравнения x · y = 4. Для этого сначала преобразуем его. Очевидно, что x в данном случае не обращается в 0, так как иначе мы бы имели 0 · y = 4, что неверно. Значит, можем разделить наше уравнение на x. Получим: y = 4/x. Графиком данной функции является гипербола. Она разбивает всю плоскость на две области: ту, что между двумя ветвями гиперболы и ту, что снаружи их.
2) Выберем из первой области произвольную точку, пусть это будет точка (4; 2).
Проверяем неравенство: 4 · 2 ≤ 4 – неверно.
Значит, точки данной области не удовлетворяют исходному неравенству. Тогда можем сделать вывод о том, что множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.
3) Так как неравенство нестрогое, то граничные точки, то есть точки графика функции y = 4/x, рисуем сплошной линией.
Закрасим множество точек, которое задает исходное неравенство, желтым цветом (рис. 1).
Задача 2.
Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой
{ y > x 2 + 2;
{y + x > 1;
{ x 2 + y 2 ≤ 9.
Решение.
Строим для начала графики следующих функций (рис. 2) :
y = x 2 + 2 – парабола,
y + x = 1 – прямая
x 2 + y 2 = 9 – окружность.
1) y > x 2 + 2.
Берем точку (0; 5), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 5 > 0 2 + 2 – верно.
Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы y = x 2 + 2, удовлетворяют первому неравенству системы. Закрасим их желтым цветом.
2) y + x > 1.
Берем точку (0; 3), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 3 + 0 > 1 – верно.
Следовательно, все точки, лежащие выше прямой y + x = 1, удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их зеленой штриховкой.
3) x 2 + y 2 ≤ 9.
Берем точку (0; -4), которая лежит вне окружности x 2 + y 2 = 9.
Проверяем неравенство: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неверно.
Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x 2 + y 2 = 9, 
не удовлетворяют третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности x 2 + y 2 = 9, удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их фиолетовой штриховкой.
Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром. Получаем следующую картинку (рис. 3) .
(рис. 4) .
Задача 3.
Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой:
{x 2 + y 2 ≤ 16;
{x ≥ -y;
{x 2 + y 2 ≥ 4.
Решение.
Строим для начала графики следующих функций:
x 2 + y 2 = 16 – окружность,
x = -y – прямая
x 2 + y 2 = 4 – окружность (рис. 5) .
Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.
1) x 2 + y 2 ≤ 16.
Берем точку (0; 0), которая лежит внутри окружности x 2 + y 2 = 16.
Проверяем неравенство: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – верно.
Следовательно, все точки, лежащие внутри окружности x 2 + y 2 = 16, удовлетворяют первому неравенству системы.
Закрасим их красной штриховкой. 
Берем точку (1; 1), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 1 ≥ -1 – верно.
Следовательно, все точки, лежащие выше прямой x = -y, удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их синей штриховкой.
3) x 2 + y 2 ≥ 4.
Берем точку (0; 5), которая лежит вне окружности x 2 + y 2 = 4.
Проверяем неравенство: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – верно.
Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x 2 + y 2 = 4, удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их голубым цветом.
В данной задаче все неравенства нестрогие, значит, все границы рисуем сплошной линией. Получаем следующую картинку (рис. 6) .
Искомая область – это область, где все три раскрашенных области пересекаются друг с другом (рис 7) .
Остались вопросы? Не знаете, как решить систему неравенств с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Пусть f(x,y) и g(x, y) - два выражения с переменными х и у и областью определения Х . Тогда неравенства вида f(x, y) > g(x, y) или f(x, y) < g(x, y) называется неравенством с двумя переменными .
Значение переменных х, у из множества Х , при которых неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением и обозначается (x, y) . Решить неравенство - это значит найти множество таких пар.
Если каждой паре чисел (x, y) из множества решений неравенства поставить в соответствие точку М(x, y) , получим множество точек на плоскости, задаваемое этим неравенством. Его называют графиком данного неравенства . График неравенства обычно является областью на плоскости.
Чтобы изобразить множество решений неравенства f(x, y) > g(x, y) , поступают следующим образом. Сначала заменяют знак неравенства знаком равенства и находят линию, имеющую уравнение f(x,y) = g(x,y) . Эта линия делит плоскость на несколько частей. После этого достаточно взять в каждой части по одной точке и проверить, выполняется ли в этой точке неравенство f(x, y) > g(x, y) . Если оно выполняется в этой точке, то оно будет выполняться и во всей части, где лежит эта точка. Объединяя такие части, получаем множество решений.
Задача. y > x .
Решение. Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и построим в прямоугольной системе координат линию, имеющую уравнение y = x .
Эта линия делит плоскость на две части. После этого возьмем в каждой части по одной точке и проверим, выполняется ли в этой точке неравенство y > x .
Задача.
Решить графически неравенство
х
2 + у
2 £ 25.
|
Решение.
Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и проведем линию х
2 + у
2 = 25. Это окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Полученная окружность делит плоскость на две части. Проверяя выполнимость неравенства х
2 + у
2 £ 25 в каждой части, получаем, что графиком является множество точек окружности и части плоскости внутри окружности. Пусть даны два неравенства f 1(x, y) > g 1(x, y) и f 2(x, y) > g 2(x, y) .
Системы совокупностей неравенств с двумя переменными
Система неравенств представляет собой конъюнкцию этих неравенств. Решением системы является всякое значение (x, y) , которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих данную систему.
Совокупность неравенств представляет собой дизъюнкцию этих неравенств. Решением совокупности является всякое значение (x, y) , которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности. Множество решений совокупности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.
Задача.
Решить графически систему неравенств 
Решение.
у = х
и х
2 + у
2 = 25. Решаем каждое неравенство системы.
Графиком системы будет множество точек плоскости, являющихся пересечением (двойная штриховка) множеств решений первого и второго неравенств.
Задача.
Решить графически совокупность неравенств 
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решите графически неравенства: а) у > 2x ; б) у < 2x + 3;
в) x 2 + y 2 > 9; г) x 2 + y 2 £ 4.
2. Решите графически системы неравенств:
а) в) 
Если в школьном курсе математики и алгебры отдельно выделить тему «неравенства», то основную часть времени постигаются азы работы с неравенствами , которые содержат в своей записи переменную. В данной статье мы разберем, что такое неравенства с переменными, скажем, что называют их решением, а также разберемся, как записываются решения неравенств. Для пояснения будем приводить примеры и необходимые комментарии.
Навигация по странице.
Что такое неравенства с переменными?
Например, если неравенство не имеет решений, то так и пишут «нет решений» или используют знак пустого множества ∅.
Когда общим решением неравенства является одно число, то его и так и записывают, к примеру, 0 , −7,2 или 7/9 , а иногда еще заключают в фигурные скобки.
Если решение неравенства представляется несколькими числами и их количество невелико, то их просто перечисляют через запятую (или через точку с запятой), или записывают через запятую в фигурных скобках. Например, если общее решение неравенства с одной переменной составляют три числа −5 , 1,5 и 47 , то записывают −5 , 1,5 , 47 или {−5, 1,5, 47} .
А для записи решений неравенств, имеющих бесконечное множество решений используют как принятые обозначения множеств натуральных, целых, рациональных, действительных чисел вида N , Z , Q и R , обозначения числовых промежутков и множеств отдельных чисел, простейшие неравенства, так и описание множества через характеристическое свойство, и все не названные способы. Но на практике наиболее часто пользуются простейшими неравенствами и числовыми промежутками. Например, если решением неравенства является число 1 , полуинтервал (3, 7] и луч , ∪ ; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Неравенством с двумя переменными х и у называется неравенство вида:
(или знак )
где – некоторое выражение с данными переменными.
Решением неравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел при которой это неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Решением неравенства с двумя переменными является некоторое множество точек координатной плоскости.
Основным методом решений данных неравенств является графический метод. Он заключается в том, что строятся линии границ (если неравенство строгое, линия строится пунктиром). Уравнение границы получаем, если в заданном неравенстве заменяем знак неравенства на знак равенства. Все линии в совокупности разбивают координатную плоскость на части. Искомое множество точек, которое соответствует заданному неравенству или системе неравенств, можно определить, если взять контрольную точку внутри каждой области области.
Совокупность неравенств с двумя переменными имеет вид
Решением совокупности является объединение всех решений неравенств.
Пример 1.
Решить систему 
Решение. Построим в системе Оху соответствующие линии (рис.19):
Уравнение задает окружность с центром в точке О ¢(0; 1) и R = 2.
Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О (0; 0).
Найдем решения каждого из неравенств, входящих в систему. Первому неравенству соответствует область внутри окружности и сама окружность (в справедливости этого убеждаемся, если подставим в неравенство координаты любой точки из этой области). Второму неравенству соответствует область, расположенная под параболой.
Решение системы – пересечение двух указанных областей (на рис.19 показано наложением двух штриховок).
Задания
I уровень
1.1. Решить графически:
3) ; 4) 
;
5) ; 6) 
;
7) 
;
II уровень
2.1. Решите графически:
1) 
2)
2.2. Найдите количество целочисленных решений системы:
1) 2) 3) 
2.3. Найдите все целочисленные решения системы:
1) 
2)
3) 
2.4. Решите неравенство. В ответе укажите количество решений с двумя целочисленными координатами
Видеоурок «Системы неравенств с двумя переменными» содержит наглядный учебный материал по данной теме. В урок включено рассмотрение понятия о решении системы неравенств с двумя переменными, примеров решения подобных систем графическим способом. Задача данного видеоурока - формировать умение учеников решать системы неравенств с двумя переменными графическим способом, облегчить понимание процесса поиска решений таких систем и запоминания метода решения.
Каждое описание решения сопровождается рисунками, которые отображают решение задачи на координатной плоскости. На таких рисунках наглядно показаны особенности построения графиков и расположения точек, соответствующих решению. Все важные детали и понятия выделены при помощи цвета. Таким образом, видеоурок является удобным инструментом для решения задач учителя на уроке, освобождает учителя от подачи стандартного блока материала для проведения индивидуальной работы с учениками.
Видеоурок начинается с представления темы и рассмотрения примера поиска решений системы, состоящей из неравенств x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.
Понимание сделанных выводов о решении системы неравенств закрепляется рассмотрением примеров. Первым рассматривается решение системы неравенств х 2 +у 2 <=9 и x+y>=2. Очевидно, что решения первого неравенства на координатной плоскости включают окружность х 2 +у 2 =9 и область внутри нее. Эта область на рисунке заполняется горизонтальной штриховкой. Множество решений неравенства x+y>=2 включает прямую x+y=2 и полуплоскость, расположенную выше. Данная область также обозначается на плоскости штрихами другого направления. Теперь можно определить пересечение двух множеств решений на рисунке. Оно заключено в сегменте круга х 2 +у 2 <=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.
Далее разбирается решение системы линейных неравенств y>=x-3 и y>=-2x+4. На рисунке рядом с условием задания строится координатная плоскость. На ней строится прямая, соответствующая решениям уравнения y=x-3. Областью решения неравенства y>=x-3 будет область, расположенная над данной прямой. Она заштриховывается. Множество решений второго неравенства располагается над прямой y=-2x+4. Данная прямая также строится на той же координатной плоскости и область решений штрихуется. Пересечением двух множеств является угол, построенный двумя прямыми, вместе с его внутренней областью. Область решений системы неравенств заполнена двойной штриховкой.
При рассмотрении третьего примера описан случай, когда графиками уравнений, соответствующих неравенствам системы, являются параллельные прямые. Решить необходимо систему неравенств y<=3x+1 и y>=3x-2. На координатной плоскости строится прямая, соответствующая уравнению y=3x+1. Область значений, соответствующих решениям неравенства y<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.
Видеоурок «Системы неравенств с двумя переменными» может применяться в качестве наглядного пособия на уроке в школе или заменить объяснение учителя при самостоятельном изучении материала. Подробное понятное объяснение решения систем неравенств на координатной плоскости может помочь подать материал при дистанционном обучении.
