Что такое тригонометрия. Тригонометрические функции
«Юность, творчество, поиск»
МБОУ «Тирянская СОШ»
Научно-исследовательская работа по теме
«Тригонометрия и тригонометрические уравнения»
Работу выполнил
ученик 10 класса
Субботин Антон.
Руководитель
учитель математики
Кезикова Л.Н.
Нетризово
План.
Введение. Стр. 3.
История возникновения тригонометрии. Стр. 4.
Тригонометрические уравнения. Стр. 7.
3.2. Схема решения тригонометрических уравнений. Стр. 9.
3.3. Введение вспомогательного аргумента. Стр. 11.
3.4. Универсальная тригонометрическая подстановка. Стр. 12.
3.5. Решение тригонометрических уравнений с помощью
формул. Стр. 14.
3.6. Решение тригонометрических уравнений с помощью
разложения на множители. Стр. 15.
3.7.Решение однородных тригонометрических уравнений. Стр. 16.
3.8. Решение нестандартных тригонометрических
уравнений. Стр. 17.
Практические применения тригонометрии. Стр. 19.
4.2. Тригонометрия в биологии. Стр. 21.
4.3.Тригонометрия в медицине. Стр. 22.
Заключение. Стр. 23.
Список литературы. Стр. 24.
В в едение
Объект исследования: тригонометрия и тригонометрические уравнения.
Предмет исследования: практическое применение тригонометрии.
Цель исследования: установить картину возникновения понятий тригонометрии и выявить примеры применения.
История возникновения тригонометрии
Происхождение этого слова греческое: τρίγωνον - треугольник, μετρεω - мера. Иными словами, тригонометрия - наука об измерениях треугольников. Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже 2000 лет назад
Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в 3 в. до н.э. в работах великих математиков Древней Греции - Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (I в. н. э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус угла α, например, изучается как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной α, или как хорда удвоенной дуги.
В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учёными. В 4-5 веках появился, в частности, уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты (476-ок. 550), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок он назвал ардхаджива (ардха-половина, джива-тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее привилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IXв. слово джива (или джиба) было заменено на арабское словоджайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XIIв. это слово было заменено латинскимсинус (sinus-изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус - это сокращение латинского выражения complementlysinus, т.е. «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cosα= sin(90° - a)).
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) , Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.
Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.
Тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения
Здесь может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) называют параметром . Записывают обычно , подчеркивая тем самым, что параметр принимать любые целые значения.
Решения уравнения , где , находятся по формуле
Особо отметим некоторые частные случаи простейших тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:
Схема решения тригонометрических уравнений
решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения: преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип: не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей "цепочки" (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.
Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага - замены переменных - превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.
Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.
Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения ответ может быть записан следующим образом:
1) в виде двух серий: , , ;
2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий: , ;
3) поскольку , то ответ можно записать в виде , . (В дальнейшем наличие параметра , , или в записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. (Исключения будут оговариваться.)
Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).
Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения .)
Введение вспомогательного аргумента
Пример. Решим уравнение 12cosx - 5sinx = -13
Решение: разделим обе части уравнения на , получим
cosx - sinx = -1.
Одним из решений системы cos = 12/13, sin = 5/13 является = = arccos (12/13). Учитывая это, запишем уравнение в виде:
и, применив формулу для косинуса суммы аргументов, получим
Откуда т.е.
Эта формула и дает все решения исходного уравнения.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы , корнями исходного уравнения.
Пример. Решим уравнение 
Решение:
Обращение к функции предполагает, что , то есть ,.
По формулам универсальной тригонометрической подстановки исходное уравнение примет вид:
;
;
|:2
;
|
; |
или |
; |
|
,; |
,; |
Ответ: ,; ,.
Решение тригонометрических уравнений с помощью формул
Пример.
1) Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Это уравнение является квадратным относительно cosx. Введем замену переменных cosx=y, тогда получим уравнение: . Его корни , . Таким образом решение сводится к решению двух уравнений:
cosx=1 имеет корни ,
cosx=-2 не имеет корней.
2) Уравнения, допускающие понижение степени.
Понижение степени происходит с использованием формул:
|
cos2α =2cos 2 α - 1 |
cos2α =1-2sin 2 α |
.
Выразим через cos2x.
Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители
Пример.
|
1) sin2x+cosx=0 2sinxcosx+cosx=0 cosx (2sinx+1) =0 , |
2) cos3x+sin5x=0
|
Решение однородных тригонометрических уравнений
Решение. Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на , получим: tg.
Пусть tg, тогда
, , ; , , .
Ответ. 
.
Решение нестандартных тригонометрических уравнений
Решение. Преобразуем выражение :
Уравнение запишется в виде:
Применение тригонометрии в искусстве и архитектуре
Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения (рис.1)
На рис.2 ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos 2 + sin 2 = 1.
Сравнив измерения АН в первом и во втором случаи можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу
РИС. 1
А
С
Н
А
РИС. 2
Н
С
Тригонометрия в биологии.
Экологические ритмы: суточные, сезонные (годовые), приливные и лунные циклы
Физиологические ритмы: ритмы давления, биения сердца, артериальное давление, три биоритма, лежащие в основе «теории трех биоритмов»
Теория трех ритмов.
Физический цикл -23 дня. Определяет энергию, силу, выносливость, координацию движения
Эмоциональный цикл - 28 дней. Состояние нервной системы и настроение
Интеллектуальный цикл - 33 дня. Определяет творческую способность личности
Тригонометрия в медицине.
Бета-ритм - 14-30 Гц, активная умственная деятельность
Тета-ритм – 4-8 Гц, состояние близкое ко сну, полудрема
Дельта-ритм - 1-4 Гц, глубокий сон
Многим людям приходится делать кардиограмму сердца, но немногие знают, что кардиограмма человеческого сердца – график синуса или косинуса.
Заключение
Я подробнее узнал об истории возникновения тригонометрии.
Систематизировал методы решения тригонометрических уравнений.
Узнал о применениях тригонометрии в архитектуре, биологии, медицине.
Список литературы.
1. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2010.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе: VII-VIII кл. - М.: Просвещение, 1982.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. - М.: Просвещение, 1983.
4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994.
История тригонометрии неразрывно связана с астрономией, ведь именно для решения задач этой науки древние ученые стали исследовать соотношения различных величин в треугольнике.
На сегодняшний день тригонометрия является микроразделом математики, изучающим зависимость между значениями величин углов и длин сторон треугольников, а также занимающимся анализом алгебраических тождеств тригонометрических функций.
Термин «тригонометрия»
Сам термин, давший название этому разделу математики, впервые был обнаружен в заголовке книги под авторством немецкого ученого-математика Питискуса в 1505 году. Слово «тригонометрия» имеет греческое происхождение и означает «измеряю треугольник». Если быть точнее, то речь идет не о буквальном измерении этой фигуры, а об её решении, то есть определении значений её неизвестных элементов с помощью известных.
Общие сведения о тригонометрии
История тригонометрии началась более двух тысячелетий назад. Первоначально ее возникновение было связано с необходимостью выяснения соотношений углов и сторон треугольника. В процессе исследований выяснилось, что математическое выражение данных соотношений требует введения особых тригонометрических функций, которые первоначально оформлялись как числовые таблицы.
Для многих смежных с математикой наук толчком к развитию стала именно история тригонометрии. Происхождение единиц измерения углов (градусов), связанное с исследованиями ученых Древнего Вавилона, опирается на шестидесятиричную систему исчисления, которая дала начала современной десятиричной, применяемой во многих прикладных науках.
Предполагается, что изначально тригонометрия существовала как часть астрономии. Затем она стала использоваться в архитектуре. А со временем возникла целесообразность применения данной науки в различных областях человеческой деятельности. Это, в частности, астрономия, морская и воздушная навигация, акустика, оптика, электроника, архитектура и прочие.
Тригонометрия в ранние века
Руководствуясь данными о сохранившихся научных реликвиях, исследователи сделали вывод, что история возникновения тригонометрии связана с работами греческого астронома Гиппарха, который впервые задумался над поиском способов решения треугольников (сферических). Его труды относятся ко 2 веку до нашей эры.
Также одним из важнейших достижений тех времен является определение соотношения катетов и гипотенузы в прямоугольных треугольниках, которое позже получило название теоремы Пифагора.
История развития тригонометрии в Древней Греции связана с именем астронома Птоломея - автора геоцентрической господствовавшей до Коперника.
Греческим астрономам не были известны синусы, косинусы и тангенсы. Они пользовались таблицами, позволяющими найти значение хорды окружности с помощью стягиваемой дуги. Единицами для измерения хорды были градусы, минуты и секунды. Один градус приравнивался к шестидесятой части радиуса.
Также исследования древних греков продвинули развитие сферической тригонометрии. В частности, Евклид в своих «Началах» приводит теорему о закономерностях соотношений объемов шаров различного диаметра. Его труды в этой области стали своеобразным толчком в развитии еще и смежных областей знаний. Это, в частности, технология астрономических приборов, теория картографических проекций, система небесных координат и т. д.
Средневековье: исследования индийских ученых
Значительных успехов достигли индийские средневековые астрономы. Гибель античной науки в IV веке обусловила перемещение центра развития математики в Индию.
История возникновения тригонометрии как обособленного раздела математического учения началась в Средневековье. Именно тогда ученые заменили хорды синусами. Это открытие позволило ввести функции, касающиеся исследования сторон и углов То есть именно тогда тригонометрия начала обосабливаться от астрономии, превращаясь в раздел математики.
Первые таблицы синусов были у Ариабхаты, они была проведены через 3 о, 4 о, 5 о. Позже появились подробные варианты таблиц: в частности, Бхаскара привел таблицу синусов через 1 о.
Первый специализированный трактат по тригонометрии появился в X—XI веке. Автором его был среднеазиатский учёный Аль-Бируни. А в своем главном труде «Канон Мас‘уда» (книга III) средневековый автор еще более углубляется в тригонометрию, приводя таблицу синусов (с шагом 15") и таблицу тангенсов (с шагом 1°).
История развития тригонометрии в Европе
После перевода арабских трактатов на латынь (XII-XIII в) большинство идей индийских и персидских ученых были заимствованы европейской наукой. Первые упоминания о тригонометрии в Европе относятся к XII веку.
По мнению исследователей, история тригонометрии в Европе связана с именем англичанина Ричарда Уоллингфордского, который стал автором сочинения «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах». Именно его труд стал первой работой, которая целиком посвящена тригонометрии. К XV веку многие авторы в своих трудах упоминают о тригонометрических функциях.
История тригонометрии: Новое время
В Новое время большинство ученых стало осознавать чрезвычайную важность тригонометрии не только в астрономии и астрологии, но и в других областях жизни. Это, в первую очередь, артиллерия, оптика и навигация в дальних морских походах. Поэтому во второй половине XVI века эта тема заинтересовала многих выдающихся людей того времени, в том числе Николая Коперника, Франсуа Виета. Коперник отвел тригонометрии несколько глав своего трактата «О вращении небесных сфер» (1543). Чуть позже, в 60-х годах XVI века, Ретик - ученик Коперника - приводит в своем труде «Оптическая часть астрономии» пятнадцатизначные тригонометрические таблицы.
В «Математическом каноне» (1579) дает обстоятельную и систематическую, хотя и бездоказательную, характеристику плоской и сферической тригонометрии. А Альбрехт Дюрер стал тем, благодаря кому на свет появилась синусоида.
Заслуги Леонарда Эйлера
Придание тригонометрии современного содержания и вида стало заслугой Леонарда Эйлера. Его трактат «Введение в анализ бесконечных» (1748) содержит определение термина «тригонометрические функции», которое эквивалентно современному. Таким образом, этот ученый смог определить Но и это еще не все.
Определение тригонометрических функций на всей числовой прямой стало возможным благодаря исследованиям Эйлера не только допустимых отрицательных углов, но и углов боле 360°. Именно он в своих работах впервые доказал, что косинус и тангенс прямого угла отрицательные. Разложение целых степеней косинуса и синуса тоже стало заслугой этого ученого. Общая теория тригонометрических рядов и изучение сходимости полученных рядов не были объектами исследований Эйлера. Однако, работая над решением смежных задач, он сделал много открытий в этой области. Именно благодаря его работам продолжилась история тригонометрии. Кратко в своих трудах он касался и вопросов сферической тригонометрии.
Области применения тригонометрии
Тригонометрия не относится к прикладным наукам, в реальной повседневной жизни ее задачи редко применяются. Однако этот факт не снижает ее значимости. Очень важна, например, техника триангуляции, которая позволяет астрономам достаточно точно измерить расстояние до недалеких звезд и осуществлять контроль за системами навигации спутников.
Также тригонометрию применяют в навигации, теории музыки, акустике, оптике, анализе финансовых рынков, электронике, теории вероятностей, статистике, биологии, медицине (например, в расшифровке ультразвуковых исследований УЗИ и компьютерной томографии), фармацевтике, химии, теории чисел, сейсмологиии, метеорологии, океанологии, картографии, многих разделах физики, топографии и геодезии, архитектуре, фонетике, экономике, электронной технике, машиностроении, компьютерной графике, кристаллографиии и т. д. История тригонометрии и ее роль в изучении естественно-математических наук изучаются и по сей день. Возможно, в будущем областей ее применения станет еще больше.
История происхождения основных понятий
История возникновения и развития тригонометрии насчитывает не один век. Введение понятий, которые составляют основу этого раздела математической науки, также не было одномоментным.
Так, понятие «синус» имеет очень долгую историю. Упоминания о различных отношениях отрезков треугольников и окружностей обнаруживаются еще в научных трудах, датируемых III веком до нашей эры. Работы таких великих древних ученых, как Евклид, Архимед, Апполоний Пергский, уже содержат первые исследования этих соотношений. Новые открытия требовали определенных терминологических уточнений. Так, индийский учёный Ариабхата дает хорде название «джива», означающее «тетива лука». Когда арабские математические тексты переводились на латынь, термин заменили близким по значению синусом (т. е. «изгиб»).
Слово «косинус» появилось намного позже. Этот термин является сокращенным вариантом латинской фразы «дополнительный синус».
Возникновение тангенсов связано с расшифровкой задачи определения длины тени. Термин «тангенс» ввел в X веке арабский математик Абу-ль-Вафа, составивший первые таблицы для определения тангенсов и котангенсов. Но европейские ученые не знали об этих достижениях. Немецкий математик и астроном Регимонтан заново открывает эти понятия в 1467 г. Доказательство теоремы тангенсов - его заслуга. А переводится этот термин как «касающийся».
Синус, косинус, тангенс - при произнесении этих слов в присутствии учеников старших классов можно быть уверенным, что две трети из них потеряют интерес к дальнейшему разговору. Причина кроется в том, что основы тригонометрии в школе преподаются в полном отрыве от реальности, а потому учащиеся не видят смысла в изучении формул и теорем.
В действительности данная область знаний при ближайшем рассмотрении оказывается весьма интересной, а также прикладной - тригонометрия находит применение в астрономии, строительстве, физике, музыке и многих других областях.
Ознакомимся с основными понятиями и назовем несколько причин изучить этот раздел математической науки.
История
Неизвестно, в какой момент времени человечество начало создавать будущую тригонометрию с нуля. Однако документально зафиксировано, что уже во втором тысячелетии до нашей эры египтяне были знакомы с азами этой науки: археологами найден папирус с задачей, в которой требуется найти угол наклона пирамиды по двум известным сторонам.
Более серьезных успехов достигли ученые Древнего Вавилона. На протяжении веков занимаясь астрономией, они освоили ряд теорем, ввели особые способы измерения углов, которыми, кстати, мы пользуемся сегодня: градусы, минуты и секунды были заимствованы европейской наукой в греко-римской культуре, в которую данные единицы попали от вавилонян.
Предполагается, что знаменитая теорема Пифагора, относящаяся к основам тригонометрии, была известна вавилонянам почти четыре тысячи лет назад.
Название
Дословно термин «тригонометрия» можно перевести как «измерение треугольников». Основным объектом изучения в рамках данного раздела науки на протяжении многих веков был прямоугольный треугольник, а точнее - взаимосвязь между величинами углов и длинами его сторон (сегодня с этого раздела начинается изучение тригонометрии с нуля). В жизни нередки ситуации, когда практически измерить все требуемые параметры объекта (или расстояние до объекта) невозможно, и тогда возникает необходимость недостающие данные получить посредством расчётов.
Например, в прошлом человек не мог измерить расстояние до космических объектов, а вот попытки эти расстояния рассчитать встречаются задолго до наступления нашей эры. Важнейшую роль играла тригонометрия и в навигации: обладая некоторыми знаниями, капитан всегда мог сориентироваться ночью по звездам и скорректировать курс.
Основные понятия
Для освоения тригонометрии с нуля требуется понять и запомнить несколько основных терминов.
Синус некоторого угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Уточним, что противолежащий катет - это сторона, лежащая напротив рассматриваемого нами угла. Таким образом, если угол составляет 30 градусов, синус этого угла всегда, при любом размере треугольника, будет равен ½. Косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему (либо, что то же самое, отношение синуса к косинусу). Котангенс - это единица, деленная на тангенс.
Стоит упомянуть и знаменитое число Пи (3,14…), которое представляет собой половину длины окружности с радиусом в одну единицу.
Популярные ошибки
Люди, изучающие тригонометрию с нуля, совершают ряд ошибок - в основном по невнимательности.
Во-первых, при решении задач по геометрии необходимо помнить, что использование синусов и косинусов возможно только в прямоугольном треугольнике. Случается, что учащийся «на автомате» принимает за гипотенузу самую длинную сторону треугольника и получает неверные результаты вычислений.
Во-вторых, поначалу легко перепутать значения синуса и косинуса для выбранного угла: напомним, что синус 30 градусов численно равен косинусу 60, и наоборот. При подстановке неверного числа все дальнейшие расчёты окажутся неверными.
В-третьих, пока задача полностью не решена, не стоит округлять какие бы то ни было значения, извлекать корни, записывать обыкновенную дробь в виде десятичной. Часто ученики стремятся получить в задаче по тригонометрии «красивое» число и сразу же извлекают корень из трёх, хотя ровно через одно действие этот корень можно будет сократить.
Этимология слова «синус»
История слова «синус» поистине необычна. Дело в том, что буквальный перевод этого слова с латыни означает «впадина». Всё потому, что верное понимание слова затерялось при переводе с одного языка на другой.
Названия базовых тригонометрических функций произошли из Индии, где понятие синуса обозначалось словом «тетива» на санскрите - дело в том, что отрезок вместе с дугой окружности, на которую он опирался, походил на лук. Во времена расцвета арабской цивилизации индийские достижения в области тригонометрии были заимствованы, и термин перешел в арабский язык в виде транскрипции. Случилось так, что в этом языке уже было похожее слово, обозначающее впадину, и если арабы понимали фонетическую разницу между родным и заимствованным словом, то европейцы, переводящие научные трактаты на латынь, по ошибке буквально перевели арабское слово, никакого отношения к понятию синуса не имеющее. Им мы и пользуемся по сей день.
Таблицы значений
Существуют таблицы, в которые занесены числовые значения для синусов, косинусов и тангенсов всех возможных углов. Ниже представим данные для углов в 0, 30, 45, 60 и 90 градусов, которые необходимо выучить как обязательный раздел тригонометрии для «чайников», благо запомнить их довольно легко.
Если случилось так, что числовое значение синуса или косинуса угла «вылетело из головы», есть способ вывести его самостоятельно.
Геометрическое представление
Начертим круг, через его центр проведем оси абсцисс и ординат. Ось абсцисс располагается горизонтально, ось ординат - вертикально. Обычно они подписываются как «X» и «Y» соответственно. Теперь из центра окружности проведем прямую таким образом, чтобы между ней и осью X получился нужный нам угол. Наконец, из той точки, где прямая пересекает окружность, опустим перпендикуляр на ось X. Длина получившегося отрезка будет равна численному значению синуса нашего угла.
Данный способ весьма актуален, если вы забыли нужное значение, например, на экзамене, и учебника по тригонометрии под рукой нет. Точной цифры вы таким образом не получите, но разницу между ½ и 1,73/2 (синус и косинус угла в 30 градусов) вы точно увидите.
Применение
Одними из первых специалистов, использующих тригонометрию, были моряки, не имеющие никакого другого ориентира в открытом море, кроме неба над головой. Сегодня капитаны кораблей (самолётов и других видов транспорта) не ищут кратчайший путь по звёздам, зато активно прибегают к помощи GPS-навигации, которая без использования тригонометрии была бы невозможна.
Практически в каждом разделе физики вас ждут расчёты с использованием синусов и косинусов: будь то приложение силы в механике, расчёты пути объектов в кинематике, колебания, распространение волн, преломление света - без базовой тригонометрии в формулах просто не обойтись.
Ещё одна профессия, которая немыслима без тригонометрии - это геодезист. Используя теодолит и нивелир либо более сложный прибор - тахиометр, эти люди измеряют разницу в высоте между различными точками на земной поверхности.
Повторяемость
Тригонометрия имеет дело не только с углами и сторонами треугольника, хотя именно с этого она начинала своё существование. Во всех областях, где присутствует цикличность (биологии, медицине, физике, музыке и т. д.) вы встретитесь с графиком, название которого наверняка вам знакомо - это синусоида.
Такой график представляет собой развёрнутую вдоль оси времени окружность и внешне похож на волну. Если вы когда-нибудь работали с осциллографом на занятиях по физике, вы понимаете, о чем идет речь. Как музыкальный эквалайзер, так и прибор, отображающий сердечные ритмы, используют формулы тригонометрии в своей работе.
В заключение
Задумываясь о том, как выучить тригонометрию, большинство учащихся средней и старшей школы начинают считать её сложной и непрактичной наукой, поскольку знакомятся лишь со скучной информацией из учебника.
Что касается непрактичности - мы уже увидели, что в той или иной степени умение обращаться с синусами и тангенсами требуется практически в любой сфере деятельности. А что касается сложности… Подумайте: если люди пользовались этими знаниями больше двух тысяч лет назад, когда взрослый человек имел меньше знаний, чем сегодняшний старшеклассник, реально ли изучить данную область науки на базовом уровне лично вам? Несколько часов вдумчивых занятий с решением задач - и вы достигнете своей цели, изучив базовый курс, так называемую тригонометрию для «чайников».
Павлов Роман
Связь тригонометрии с окружающим миром, значение тригонометрии в решении многих практических задач, графические возможности тригонометрических функций позволяют «материализовать» знания школьников. Это позволяет лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых при изучении тригонометрии, повышает интерес к изучению данной темы.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №10
с углубленным изучением отдельных предметов
Проект выполнил:
Павлов Роман
ученик 10б класса
Руководитель:
учитель математики
Болдырева Н.А
г. Елец, 2012
1.Введение.
3. Мир тригонометрии.
- Тригонометрия в физике.
- Тригонометрия в планиметрии.
3.2 Графические представления о превращении «мало интересных» тригонометрических функций в оригинальные кривые (с помощью компьютерной программы «Функции и графики»).
- Кривые в полярных координатах (Розетки).
- Кривые в декартовых координатах (Кривые Лиссажу).
- Математические орнаменты.
4. Заключение.
5. Список литературы.
Цель проекта - развитие интереса к изучению темы «Тригонометрия» в курсе алгебры и начала анализа через призму прикладного значения изучаемого материала; расширение графических представлений, содержащих тригонометрические функции; применение тригонометрии в таких науках, как физика, биология. Не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.
Объект исследования - тригонометрия
Предмет исследования - прикладная направленность тригонометрии; графики некоторых функций, с использованием тригонометрических формул.
Задачи исследования:
1.Рассмотреть историю возникновения и развития тригонометрии.
2.Показать на конкретных примерах практические приложения тригонометрии в различных науках..
3.Раскрыть на конкретных примерах возможности использования тригонометрических функций, позволяющие «мало интересные» функции превращать в функции, графики которых имеют весьма оригинальный вид.
Гипотеза- предположения : Связь тригонометрии с окружающим миром, значение тригонометрии в решении многих практических задач, графические возможности тригонометрических функций позволяют «материализовать» знания школьников. Это позволяет лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых при изучении тригонометрии, повышает интерес к изучению данной темы.
Методы исследования - анализ математической литературы по данной теме; отбор конкретных задач прикладного характера по данной теме; компьютерное моделирование на основе компьютерной программы. Открытая математика «Функции и графики» (Физикон).
1. Введение
« Одно осталось ясно, что мир устроен
Грозно и прекрасно».
Н.Рубцов
Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре. Значительную роль в развитии навыков применения на практике теоретических знаний, полученных при изучении математики, играют задачи с практическим содержанием. Каждого изучающего математику, интересует как и где применяются полученные знания. Ответ на этот вопрос и дает данная работа.
2.История развития тригонометрии.
Слово тригонометрия составилось из двух греческих слов: τρίγονον (тригонон-треугольник) и и μετρειν (метрейн- измерять) в буквальном переводе означает измерение треугольников .
Именно эта задача- измерение треугольников или, как принято теперь говорить, решение треугольников, т.е. определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам (стороне и двум углам, двум сторонам и углу или трем сторонам)- с древнейших времен составляла основу практических приложений тригонометрии.
Как и всякая другая наука, тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач. Первые этапы развития тригонометрии тесно связаны с развитием астрономии. Большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрии оказали потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил. Значительную роль в развитии тригонометрии сыграла потребность в составлении географических карт и тесно связанная с этим необходимость правильного определения больших расстояний на земной поверхности.
Основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения имели работы древнегреческого астронома Гиппарха (середина II века до н.э.). Тригонометрия как наука, в современном смысле этого слова не было не только у Гиппарха, но и у других ученых древности, так как они еще не имели понятия о функциях углов и даже не ставили в общем виде вопроса о зависимости между углами и сторонами треугольника. Но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. При этом основным средством получения нужных результатов было умение вычислять длины круговых хорд на основании известных соотношений между сторонами правильных трех-, четырех-, пяти- и десятиугольника и радиусом описанного круга.
Гиппарх составил первые таблицы хорд, т.е. таблицы, выражающие длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса. Это были, по существу, таблицы двойных синусов половины центрального угла. Впрочем, оригинальные таблицы Гиппарха(как и почти все им написанное) до нас не дошли, и мы можем составить себе о них представление главным образом по сочинению « Великое построение» или (в арабском переводе) « Альмагест» знаменитого астронома Клавдия Птолемея , жившего в середине II века н.э.
Птолемей делил окружность на 360 градусов, а диаметр- на 120 частей. Он считал радиус равным 60 частям(60 ). Каждую из частей он делил на 60 , каждую минуту на 60 ,секунду на 60 терций (60 ) и т.д., применяя указанное деление, Птолемей выражал сторону правильного вписанного шестиугольника или хорду, стягивающую дугу в 60 в виде 60 частей радиуса(60 ч ), а сторону вписанного квадрата или хорду в 90 приравнивал числу 84 ч 51 10 .Хорду в 120 - сторону вписанного равностороннего треугольника- он выражал числом 103 ч 55 23 и т.д. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, он записывал на основании теоремы Пифагора: (хорда ) 2 +(хорда 180- ) 2 =(диаметру) 2 , что соответствует современной формуле sin 2 +cos 2 =1.
«Альмагест» содержит таблицу хорд через полградуса от 0 до 180 , которая с нашей современной точки зрения представляет таблицу синусов для углов от 0 до 90 через каждые четверть градуса.
В основе всех тригонометрических вычислений у греков лежала известная еще Гиппарху теорема Птолемея : «прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противолежащих сторонах» (т.е. произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон). Пользуясь этой теоремой, греки умели (с помощью теоремы Пифагора) по хордам двух углов вычислить хорду суммы (или хорду разности) этих углов или хорду половины данного угла, т.е. умели получать результаты, которые мы получаем теперь по формулам синуса суммы(или разности) двух углов или половины угла.
Новые шаги в развитии тригонометрии связаны с развитием математической культуры народов Индии, Средней Азии и Европы (V-XII) .
Важный шаг вперед в период с V по XII век был сделан индусами, которые в отличие от греков стали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ (см. чертеж) соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. то, что мы теперь называем линией синуса - половины центрального угла.
Наряду с синусом индусы ввели в тригонометрию косинус, точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. (Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого « синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90 . «Синус дополнения» или (по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus).
Им были известны также соотношения cos =sin(90 - ) и sin 2 +cos 2 =r 2 , а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.
Следующий этап в развитии тригонометрии связан со странами
Средней Азии, Ближнего Востока, Закавказья(VII-XV в.)
Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,- среднеазиатская математика имела ярко выраженный « вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии, причем тригонометрия сформировалась в особую математическую дисциплину в значительной мере именно в трудах среднеазиатских ученых. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индусам.
Решая задачу об определении высоты Солнца S по тени b вертикально стоящего шеста a (см чертеж), сирийский астроном ал-Баттани (Хв.)пришел к выводу, что острый угол в прямоугольном треугольнике определяется отношением одного катета к другому, и вычислил небольшую таблицу котангенсов через 1 . Точнее говоря, он вычислил длину тени b=a =a ctg шеста определенной длины (а=12) для =1 ,2 ,3 ……
Абу-ль-Вафа из Хоросана, живший в Х веке (940-998) , составил аналогичную «таблицу тангенсов», т.е. вычислил длину тени b=a =a tg , отбрасываемой горизонтальным шестом определенной длины (а=60) на вертикальную стену (см. чертеж).
Следует отметить, что сами термины « тангенс» (в буквальном переводе- «касающийся») и «котангенс» произошли из латинского языка и появились в Европе значительно позднее (XVI-XVIIвв.). Среднеазиатские же ученые называли соответствующие линии «тенями»: котангенс-«первой тенью», тангенс- «второй тенью».
Абу-ль-Вафа дал совершенно точное геометрическое определение линии тангенса в тригонометрическом круге и присоединил к линиям тангенса и котангенса линии секанса и косеканса. Он же выразил (словесно) алгебраические зависимости между всеми тригонометрическими функциями и, в частности, для случая, когда радиус круга равен единице. Этот чрезвычайно важный случай был рассмотрен европейскими учеными на 300 лет позднее. Наконец, Абу-ль-Вафа составил таблицу синусов через каждые 10 .
В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес.
Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой. Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси (1201-1274).
Впервые в европейской науке стройное изложение тригонометрии дано в книге « О треугольниках разных родов» ,написанной Иоганном Мюллером , более известным в математике под именем Региомонтана(1436-1476). Он обобщает в ней методы решения прямоугольных треугольников и дает таблицы синусов с точностью до 0,0000001. При этом замечательно то, что он полагал радиус круга равным 10 000 000 или 10 000, т.е. выразил значения тригонометрических функций в десятичных дробях, перейдя фактически от шестидесятиричной системы счисления к десятичной.
Английский ученый XIV века Брадвардин (1290-1349) первый в Европе ввел в тригонометрические вычисления котангенс под названием «прямой тени» и тангенс под названием «обратной тени».
На пороге XVIIв. В развитии тригонометрии намечается новое направление- аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление элементов геометрических фигур и учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно становится одной из глав математического анализа. О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Виет , первые математические исследования которого относились к тригонометрии.
Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642-1727) уже применял символы тригонометрических функций.
В первой половине XIXв. французский ученый Ж.Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено в виде суммы простых гармонических колебаний.
Огромное значение в истории тригонометрии имело творчество знаменитого петербургского академика Леонарда Эйлера(1707-1783), он придал всей тригонометрии современный вид.
В своем труде «Введение в анализ»(1748 г.) Эйлер разработал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях, дал ей аналитическое изложение, выведя всю совокупность тригонометрических формул из немногих основных формул.
Эйлеру принадлежит окончательное решение вопроса о знаках тригонометрических функций во всех четвертях круга, вывод формул приведения для общих случаев.
Введя в математику новые функции- тригонометрические, стало целесообразным поставить вопрос о разложении этих функций в бесконечный ряд. Оказывается, такие разложения возможны:
Sinx=x-
Cosx=1-
Эти ряды позволяют значительно облегчить составление таблиц тригонометрических величин и для нахождения их с любой степени точности.
Аналитическое построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, было завершено в работах Н.И.Лобачевского, Гаусса, Коши, Фурье и других.
« Геометрические рассмотрения,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций…Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».
В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических функциях -является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть- решение треугольников -рассматривается как глава геометрии.
3.Мир тригонометрии.
3.1 Применение тригонометрии в различных науках.
Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.
Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Следует отметить применение тригонометрии в следующих областях: техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ), компьютерная томография, фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография, геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.
Тригонометрия в физике.
Гармонические колебания.
Когда какая-либо точка движется по прямой линии попеременно то в одну, то в другую сторону, то говорят, что точка совершает колебания.
Одним из простейших видов колебаний является движение по оси проекции точки М, которая равномерно вращается по окружности. Закон этих колебаний имеет вид x=Rcos(t+ ), (1).
где R-радиус окружности, Т-время одного оборота точки М, а число показывает начальное положение точки на окружности. Такие колебания называют гармоническими или синусоидальными.
Из равенства (1) видно, что амплитуда гармонических колебаний равна радиусу окружности, по которой движется точка М, а частота этих колебаний равна .
Обычно вместо этой частоты рассматривают циклическую частоту = , показывающую угловую скорость вращения, выраженную в радианах в секунду. В этих обозначениях имеем: x= R cos( t+ ). (2)
Число называют начальной фазой колебания .
Изучение колебаний всякого рода важно уже по одному тому, что с колебательными движениями или волнами мы сталкиваемся весьма часто в окружающем нас мире и с большим успехом используем их (звуковые волны, электромагнитные волны).
Механические колебания.
Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или маятник. Возьмем, например, гирю, подвешенную на пружине (см.рис.) и толкнем ее вниз. Гиря начнет колебаться вниз и вверх. Как показывают расчеты, отклонение гири от положения равновесия выражается формулой s= sin t.
Здесь v 0 -скорость, с которой мы толкнули гирю,а = , где m-масса гири,k- жесткость пружины(сила, которая нужна, чтобы растянуть пружину на 1 см).
Если мы сначала оттянем гирю на s 0 см,а потом толкнем ее со скоростью v 0 , то она будет совершать колебания по более сложному закону: s=Asin( t+ ) (2).
Расчеты показывают, что амплитуда А этого колебания равна ,а число таково, что tg = . Из-за слагаемого это колебание отличается от колебания s=Asin t.
График колебания (2) получается из графика колебания(1) сдвигом влево
на . Число называют начальной фазой.
Колебания маятника.
Колебания маятника тоже приближенно происходят по синусоидальному закону. Графическое изображение этой функции, дающее наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени удобно рассмотреть с помощью модели маятника программы « Функции и графики» (см. приложение VIII).
Если эти колебания малы, то угол отклонения маятника приближенно выражается формулой:
= 0 sin(t ), где l -длина маятника, а 0 -начальный угол отклонения. Чем длиннее маятник, тем медленнее он качается.(Это хорошо видно на рис.1-7 прилож. VIII). На рис.8-16 ,приложения VIII хорошо видно,как изменение начального отклонения влияет на амплитуду колебаний маятника, период при этом не меняется. Измеряя период колебания маятника известной длины, можно вычислять ускорение земного тяготения g в различных точках земной поверхности.
Разряд конденсатора.
Не только многие механические колебания происходят по синусоидальному закону. И в электрических цепях возникают синусоидальные колебания. Так в цепи, изображенной в правом верхнем углу модели, заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону q = CU + (q 0 – CU ) cos ω t ,где С- емкость конденсатора, U –напряжение на источнике тока, L –индуктивность катушки, - угловая частота колебаний в цепи.
Благодаря модели конденсатора, имеющейся в программе « Функции и графики» можно устанавливать параметры колебательного контура и строить, соответствующие графики g(t)и I(t). На графиках 1-4 хорошо видно как влияет напряжение на изменение силы тока и заряда конденсатора, при этом видно, что при положительном напряжении заряд также принимает положительные значения. На рис.5-8 приложения IX показано, что при изменении емкости конденсатора(при изменении индуктивности катушки на рис. 9-14 приложения IX) и сохранении неизменными остальных параметров меняется период колебаний, т.е. меняется частота колебаний силы тока в цепи и меняется частота заряда конденсатора..(см. приложение IX).
Как соединить две трубы.
Приведенные примеры могут создать впечатление, что синусоиды встречаются только в связи с колебаниями. Однако это не так. Например, синусоиды используются при соединении двух цилиндрических труб под углом друг к другу.Чтобы соединить две трубы таким образом, надо срезать их наискосок.
Если развернуть срезанную наискосок трубу, то она окажется ограниченной сверху синусоидой. В этом можно убедиться, обернув свечку бумагой, срезав ее наискосок и развернув бумагу. Поэтому, чтобы получить ровный срез трубы, можно сначала обрезать металлический лист сверху по синусоиде и свернуть его в трубу.
Теория радуги.
Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом . Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.
Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:
где n 1 =1, n 2 ≈1,33 – соответственно показатели преломления воздуха и воды, α – угол падения, а β – угол преломления света.
Северное сияние
Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.
Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется, силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы
Задачи по тригонометрии с практическим содержанием.
Винтовая линия.
Представим себе, что на боковую поверхность цилиндра с диаметром d наматывается прямоугольный треугольник АВС (см.рис.)с основанием АС = d так, что основание это совпадает с окружностью основания цилиндра. Так как АС = d , то точка С после того, как весь треугольник будет навернут на боковую поверхность цилиндра, совпадает с точкой А 1 , точка В займет положение В 1 на образующей А 1 В 1 цилиндра, а гипотенуза АВ займет некоторое положение на боковой поверхности цилиндра и примет форму винтовой линии.
Мы получили один виток винтовой линии. Длина катета ВС (h) называется шагом винтовой линии. Угол ВАС ( ) называется углом подъема винтовой линии. Найдем зависимость между h,d, и . Из треугольника АВС имеем h= dtg ;полученная формула позволяет также определить угол подъема по данным h и d. tg = .
Определение коэффициента трения.
Тело веса Р положено на наклонную плоскость с углом наклона . Тело под действием своего собственного веса прошло ускоренно путь S в t секунд. Определить коэффициент трения k.
Решение.
Сила давления тела на наклонную плоскость =kPcos .
Сила, которая тянет тело вниз равна F=Psin -kPcos =P(sin -kcos ).(1)
Если тело движется по наклонной плоскости, то ускорение а= .
С другой стороны, ускорение а= = =gF ;следовательно, .(2)
Из равенств (1) и (2) следует, что g(sin -kcos )= .
Отсюда: k= =gtg - .
Тригонометрия в планиметрии.
Основные формулы при решении задач по геометрии с применением тригонометрии :
Sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);
Sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.
Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике:
- Катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на тангенс противолежащего угла.
- Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус прилежащего угла.
- Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла.
- Катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на котангенс прилежащего угла.
Задача1: На боковых сторонах АВ и СD равнобокой трапеции ABCD взяты точки М и N таким образом, что прямая MN параллельна основаниям трапеции. Известно, что в каждую из образовавшихся малых трапеций MBCN и AMND можно вписать окружность, причем радиусы этих окружностей равны r и R соответственно. Найти основания AD и BC.
Дано: ABCD-трапеция,AB=CD, MєAB,NєCD, MN||AD, в трапеции MBCN и AMND можно вписать окружность с радиусом r и R соответственно.
Найти: AD и BC.
Решение:
Пусть O1 и O2 – центры вписанных в малые трапеции окружностей. Прямая О1К||CD.
В ∆ O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).
Т.к. ∆O2FD прямоугольный, то O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Т.к. AD=2DF=2R*ctg(α/2),
аналогично BC = 2r* tg(α/2).
Cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α/2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√(r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), тогда AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), находим ответ.
Ответ: AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).
Задача2 : В треугольнике ABC известны стороны b, c и угол между медианой и высотой, исходящими из вершины A. Вычислить площадь треугольника ABC.
Дано: ∆ ABC, AD-высота, AE-медиана, DAE=α, AB=c, AC=b.
Найти: S∆ABC.
Решение:
Пусть CE=EB=x, AE=y, AED=γ. По теореме косинусов в ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); а в ∆ACE по теореме косинусов c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Вычитая из 1 равенства 2 получим c²-b²=4xy*cosγ(3).
Т.К. S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), тогда разделив 3 равенство на 4 получим: (c²-b²)/S=4*ctgγ, но ctgγ=tgαб, следовательно S∆ABC= (с²-b²)/4*tgα.
Ответ: (с²-b²)/4*tgα.
Тригонометрия в искусстве и архитектуре.
Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.
Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения (рис.1)
Ситуация меняется (рис2), так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos 2 + sin 2 = 1.
Сравнив измерения АН в первом и во втором случаи можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу.
Тригонометрия в медицине и биологии.
Модель биоритмов
Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).
Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.
Формула сердца
В результате исследования, проведенного студентом иранского университета
Шираз Вахидом-Резой Аббаси,
медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.
Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности на 14-й конференции географической медицины и затем - на 28-й конференции по вопросам применения компьютерной техники в кардиологии, состоявшейся в Нидерландах. Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.
Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.
Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея "измерения углов" не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории
вновь позабыли.
Результаты нового исследования, как можно предположить, окажутся небезынтересны инженерам, конструирующим системы навигации для роботов, а также специалистам, которые работают над созданием максимально реалистичных виртуальных моделей. Возможны и приложения в области медицины, при реабилитации пациентов с повреждениями определенных областей мозга.
3.2 Графические представления о превращении «мало интересных» тригонометрических функций в оригинальные кривые.
Кривые в полярных координатах.
с. 16ис. 19 Розетки.
В полярных координатах выбираются единичный отрезок e, полюс О и полярная ось Ох. Положение любой точки М определяется полярным радиусом ОМ и полярным углом , образованным лучом ОМ и лучом Ох. Число r ,выражающее длину ОМ через е (ОМ=rе) и численное значение угла , выраженного в градусах или в радианах, называются полярными координатами точки М.
Для любой точки, отличной от точки О, можно считать 0 ≤ 2 и r 0. однако при построении кривых, соответствующих уравнениям вида r=f( ), переменному естественно придавать любые значения (в том числе и отрицательные, и превышающие 2 ), а r может оказаться как положительным, так и отрицательным.
Для того чтобы найти точку ( ,r), проведем из точки О луч, образующий с осью Ох угол , и отложим на нем (при r 0) или на его продолжении в противоположную сторону (при r 0) отрезок r е.
Все значительно упростится, если предварительно построить координатную сетку, состоящую из концентрических окружностей с радиусами е,2е,3е и т. д.(с центром в полюсе О) и лучей, для которых =0 ,10 ,20 ,…,340 ,350 ; эти лучи будут пригодны и при 0 , и при 360 ; например, при =740 и при =-340 мы попадем на луч, для которого =20 .
Исследованию данных графиков помогает компьютерная программа « Функции и графики» . Пользуясь, возможностями этой программы исследуем некоторые интересные графики тригонометрических функций.
1 .Рассмотрим кривые, заданные уравнениями: r=a+sin3
I. r=sin3 (трилистник ) (рис.1)
II.r=1/2+sin3 (рис.2), III. r=1+ sin3 (рис.3), r=3/2+ sin3 (рис.4) .
У кривой IV наименьшее значение r=0,5 и лепестки имеют незаконченный вид. Таким образом при а 1 лепестки трилистника имеют незаконченный вид.
2.Рассмотрим кривые при а=0; 1/2; 1;3/2
При а=0 (рис.1),при а=1/2 (рис.2), при а=1 (рис.3) лепестки имеют законченный вид, при а=3/2 будет пять незаконченных лепестков., (рис.4).
3.В общем случае у кривой r= первый лепесток будет заключен в секторе (0 ; ), т.к. в этом секторе 0 ≤ ≤180 . При 1 лепесток будет занимать сектор, больший 180 , но меньший 360 , а при для одного лепестка потребуется «сектор», превышающий 360 .
На рис1-4 показан вид лепестков при = , , , .
4.Уравнения, найденные немецким математиком-натуралистом Хабенихтом для геометрических форм, встречающихся в мире растений. Например, уравнениям r=4(1+cos3 ) и r=4(1+cos3 )+4sin 2 3 соответствуют кривые, изображенные на рис.1.2 .
Кривые в декартовых координатах.
Кривые Лиссажу.
Много интересных кривых можно построить и в декартовых координатах. Особенно интересно выглядят кривые, уравнения которых даны в параметрическом виде:
Где t-вспомогательное переменное(параметр). Например, рассмотрим кривые Лиссажу, характеризуемые в общем случае уравнениями:
Если за параметр t взять время, то фигуры Лиссажу будут представлять собой результат сложения двух гармонических колебательных движений, совершаемых во взаимно перпендикулярных направлениях. В общем случае кривая располагается внутри прямоугольника со сторонами 2а и2в.
Рассмотрим это на следующих примерах
I. x=sin3t; y=sin 5t (рис.1)
II. x=sin 3t; y=cos 5t (рис.2)
III. x=sin 3t; y=sin 4t.(рис.3)
Кривые могут быть замкнутыми и незамкнутыми.
Например, замена уравнений I уравнениями: x=sin 3t; y=sin5(t+3) превращает незамкнутую кривую в кривую замкнутую.(рис.4)
Интересны и своеобразны линии, соответствующие уравнениям вида
у=arcsin(sin k(x- )).
Из уравнения y=arcsin(sinx) следует:
1) и 2)siny=sinx.
При этим двум условиям удовлетворяет функция у=х. Графиком ее в интервале (- ; ) будет отрезок АВ ломаной, изображенной на графике.
В интервале будем иметь у= -х, так как sin( -x)=sinx и в этом интервале
Здесь график изобразится отрезком ВС.
Так как sinx –периодическая функция с периодом 2 , то ломаная АВС, построенная в интервале(, ) повторится на других участках.
Уравнению y=arcsin(sinkx) будет соответствовать ломаная линия с периодом (период функции sin kx).
Добавляя в правой части множитель m получим уравнение у=arcsin(sin kх), которому будет отвечать ломаная. На рисунке изображены графики при k=2,m=1/2;k=2, m=-2.
Математические орнаменты.
Под математическим орнаментом будем понимать рисунок, характеризуемый каким-нибудь уравнением или неравенством (а может быть системой уравнений или неравенств), в котором многократно повторяется тот или иной узор.
удовлетворяют координаты точек, которые лежат одновременно выше синусоиды (для них у>sinx) и ниже кривой y=-sinx, т.е. « область решений» системы будет состоять из закрашенных на рис.1 областей.
2.Рассмотрим неравенства
- (y-sinx)(y+sinx)
Для решения данного неравенства сначала строим графики функций: y=sinx; y=-sinx.
Затем закрашиваем области, где y>sinx и одновременно y-sinx.
Этому неравенству будут удовлетворять области,закрашенные на рис.2
2)(y 2 -arcsin 2 (sinx))(y 2 -arcsin 2 (sin(x+ )))
Перейдем к следующему неравенству:
(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx)){ y-arcsin(sin(x+ ))}{y+arcsin(sin(x+ ))}
Для решения данного неравенства сначала строим графики функций: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+ )) .
Составим таблицу возможных вариантов решений. +
Затем рассматриваем и закрашиваем решения следующих систем.
4) 5) 6)
7) 8)
Этому неравенству будут удовлетворять области, закрашенные на рис.3
3)(y 2 -sin 2 x)(y 2 -sin 2 (x+ ))(y 2 -sin 2 (x- ))
Для решения данного неравенства сначала строим графики функций: y=±sinx; y=±sin(x+ ); y=±sin(x- ) .
Левая часть исходного неравенства состоит из трех множителей. Произведение трех множителей меньше нуля, если хотя бы один из них меньше, а два других больше нуля. Поэтому рассматриваем три случая: 1) Первый множитель меньше нуля,т,е.|y||sin(x+ )| и |y|>|sin(x- )|.
2) Второй множитель меньше нуля, т.е|y|)| , другие множители положительны, т.е. .|y|>|sinx| и |y|>|sin(x- )|.
3) Третий множитель меньше нуля,т.е. |y|)|, другие множители положительны, т.е. |y|>|sinx| и |y|>|sin(x+ )|.
Затем рассматриваем и закрашиваем решения в каждом случае.
Этому неравенству будут удовлетворять области,закрашенные на рис.4
4. Заключение.
Связь математики с окружающим миром позволяет «материализовать» знания школьников. Это помогает нам лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых в школе.
Под математической задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) мы понимаем задачу, фабула которой раскрывает приложения математики в смежных учебных дисциплинах, технике, в быту.
Использование моделирующей программы « Функции и графики» значительно расширило возможности проведения исследований, позволило материализовать знания при рассмотрении приложений тригонометрии в физике.Благодаря этой программе проведены лабораторные компьютерные исследования механических колебаний на примере колебаний маятника, рассмотрены колебания в электрической цепи. Использование компьютерной программы позволило исследовать интересные математические кривые, задаваемые с помощью тригонометрических уравнений и построением графиков в полярных и декартовых координатах. Графическое решение тригонометрических неравенств привело к рассмотрению интересных математических орнаментов.
5.Список использованной литературы.
- .Атанасов П.Т., Атанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием: Кн.для учителя.-М.:Просвещение,1987-110с.
- .Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклассного чтения IX-X кл.-М.:Просвещение,1985-148-165с(Мир знаний).
- Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. Гос.изд.физ-мат.лит.М,1961-148-169стр.
- .Кожуров П.Я. Курс тригонометрии для техникумов. Гос. изд. технико-теоретической лит. М.,1956
- Колосов А.А. Кн.для внеклассного чтения по математике в старших классах. Гос. учебно-пед. изд.Мин.Просв. РФ,М.,1963-407с.
- Муравин Г.К.,Тараканова О.В. Элементы тригонометрии. 10 кл..-М.:Дрофа,2001-128с.
- Пичурин Л.Ф. О тригонометрии и не только о ней: пособие для учащихся 9-11 кл.. –М.:Просвещение,1996-80с.
- Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. Кн.для учителя.-М.:Просвещение,1990-96с.
Табличные значения углов
Графики тригонометрических функций
Косинусоида
Синусоида
Тангенсоида
Котангенсоида
Изобретение способа измерения углов в градусах относится к III - II тысячелетиям до н.э.
Древнегреческие ученые не знали современных обозначений тригонометрических функций, вместо синуса они пользовались хордой. Греческое слова "хорда", означает "тетива лука". Первые таблицы хорд дошли до нас в книге Птолемея "Альмагест" (II в. н.э.)
В Индии, в трактате математики Ариабхата, в 499 г. встречаются функции синус, косинус и синусверсус. Они рассматривались только для острого угла.
Новые тригонометрические функции, которыми мы пользуемся и сейчас, были введены учеными стран Среднего и Ближнего Востока в IX - X вв. Понтяие "тангенс" и "котангенс", как и первые таблицы этих новых тригонометрических величин, родились из учения о солнечных часах (гномоники). Солнечные часы представляли собой шест, вертикально воткнутый в землю. Время отсчитывалось по длине и направлению тени, отбрасываемой шестом. Циферблатом служила площадка с колышками, вбитыми в землю.
Всего тригонометрических величин шесть: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс.
В Европе первым трудом, в котором тригонометрия рассматривалась как самостоятельная ветвь математики, была работа немецкого астронома и математика Региомонтана "Пять книг о треугольниках всех видов", написанная в 1462 - 1466 гг. В ней автор систематизировал и изложил все известные к этому времени знания по тригонометрии.
Наиболее значимые исследования по тригонометрии связаны с именами Насирэддина Туси (1201 - 1274), Джона Валлиса (1616 - 1703), Джеймса Грегори (1638 - 1675), Исаака Барроу (1630 - 1677), Роджера Котеса (1682 - 1716), Исаака Ньютона (1643 - 1727), Леонарда Эйлера (1707 - 1783).
