П 8 решение линейных неравенств. Неравенства

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения, т. е. находить те значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной.

Рассмотрим, например, неравенство

2х + 5 < 7.

Подставив вместо х значение 0 , получим 5 < 7 - верное неравенство; значит, х = 0 х значение 1 , получим 7 < 7 - неверное неравенство; поэтому х = 1 не является решением данного неравенства. Подставив вместо х значение -3 , получим -6 + 5 < 7 , т.е. - 1 < 7 - верное неравенство; следовательно, х = -3 - решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 2,5 , получим 2 - 2,5 + 5 < 7 , т. е. 10 < 7 - неверное неравенство. Значит, х = 2,5 не является решением неравенства.

Но вы же понимаете, что это - тупиковый путь: ни один математик не станет так решать неравенство, ведь все числа невозможно перебрать! Вот тут-то и нужно использовать свойства числовых неравенств, рассуждая следующим образом.

Нас интересуют такие числа х , при которых 2х + 5 < 7 - верное числовое неравенство. Но тогда и 2х + 5 - 5< 7 - 5 - верное неравенство (согласно свойству 2: к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число - 5 ). Получили более простое неравенство 2х < 2 . Разделив обе его части на положительное число 2 , получим (на основании свойства 3) верное неравенство х < 1 .

Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х , которое меньше 1 . Эти числа заполняют открытый луч (-∞, 1) . Обычно говорят, что этот луч - решение неравенства 2х + 5 < 7 (точнее было бы говорить о множестве решений, но математики, как всегда, экономны в словах). Таким образом, можно использовать два варианта записи решений данного неравенства: х < 1 или (-∞, 1) .

Свойства числовых неравенств позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:

Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный .

Применим эти правила для решения линейных неравенств, т. е. неравенств, сводящихся к виду ах + b > 0 (или ах + b < 0 ),

где а и b - любые числа, за одним исключением: а ≠ 0 .

Пример 1.

Решить неравенство Зх - 5 ≥ 7х - 15 .

Р е ш е н и е .

Перенесем член 7х в левую часть неравенства, а член - 5 - в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить знаки и у члена 7х , и у члена -5 (руководствуемся правилом 1). Тогда получим

Зх - 7х ≥ - 15 + 5 , т. е. - 4х ≥ - 10 .

Разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число - 4 , не забыв при этом перейти к неравенству противоположного смысла (руководствуясь правилом 3). Получим х < 2,5 . Это и есть решение заданного неравенства.

Как мы условились, для записи решения можно использовать обозначение соответствующего промежутка числовой прямой: (-∞, 2,5] .

О т в е т: х < 2,5 , или (-∞, 2,5] .

Для неравенств, как и для уравнений, вводится понятие равносильности. Два неравенства f(x) < g(x) и r(x) < s(x) называют равносильными , если они имеют одинаковые решения (или, в частности, если оба неравенства не имеют решений).

Обычно при решении неравенства стараются заменить данное неравенство более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства . Эти преобразования как раз и указаны в сформулированных выше правилах 1-3.

Пример 2.

Решить неравенство

Р е ш е н и е.

Умножим обе части неравенства на положительное число 15 , оставив знак неравенства без изменения (правило 2), Это позволит нам освободиться от знаменателей, т. е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному:

Воспользовавшись для последнего неравенства правилом 1, получим равносильное ему более простое неравенство:

Наконец, применив правило 3, получим

О т в е т: или

В заключение заметим, что, используя свойства числовых неравенств, мы, конечно, сможем решить не любое неравенство с переменной, а только такое, которое после ряда простейших преобразований (типа тех, что были выполнены в примерах из этого параграфа) принимает вид ах > b (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства, строгого или нестрогого).

§ 1 Линейные неравенства

На этом занятии мы познакомимся с определением линейного неравенства. Рассмотрим свойства, используемые при решении линейных неравенств. Научимся решать линейные неравенства.

Линейным неравенствомназывают неравенства вида aх+ b > 0 или aх+ b < 0, где переменная или искомая величина, a и b- некоторые числа, причем a ≠ 0.

Так как неравенство может быть строгим и нестрогим, то линейные неравенства могут иметь следующий вид aх+ b ≥0, aх+ b ≤ 0.

Неравенство является линейным, так как х входит в неравенство в первой степени.

Решением линейного неравенства является значение переменной х, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Возьмем неравенство 2х+5 > 0.

Подставим вместо х значение нуль. Получим 5 > 0. Это верное неравенство. Значит, х=0, является решением неравенства 2х+5>0.

Подставив вместо х значение -2,5, получим 0 > 0. Это неверное неравенство. Следовательно, х= -2,5 не является решением линейного неравенства 2х + 5>0. Подбирая значения х, можно найти еще несколько частных решений.

Найти все решения или доказать, что неравенство не имеет решений, означает решить линейное неравенство.

Неравенства, которые имеют одни и те же решения, называются равносильными.

При решении неравенств используют правила, применяя которые можно получить более простые для решения равносильные неравенства.

§ 2 Примеры решения линейных неравенств

Решим неравенство 2х+5>0. И первое правило, которое здесь можно использовать: если член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство.

Разделим обе части неравенства на 2. Получим х > -2,5.

Ответ можно записать так: х > -2,5 или в виде числового промежутка

Результатом является положительно-направленный открытый луч.

Открытый, так как наше неравенство строгое, а значит, число -2,5 не включается в числовой промежуток.

Решим другое линейное неравенство 3х - 3 ≥ 7х - 15.

Так же, как при решении линейных уравнений, слагаемые с х перенесем влево, а числовые слагаемые - вправо. Не забудем при переносе поменять знаки слагаемых на противоположные. Исходя из первого правила, знак неравенства при этом не меняется.

Получим 3х - 7х ≥ -15 + 3 или -4х ≥ -12.

Далее используем третье правило: если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то жеотрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим равносильное неравенство.

Разделим обе части неравенства на -4.

Получим х ≤ 3.

Покажем решение на оси х.

Результатом является отрицательно-направленный закрытый луч. Закрытый, так как наше неравенство нестрогое, а значит, число 3 включается в числовой промежуток.

Рассмотрим решение более сложного линейного неравенства

Используя второе правило, обе части неравенства умножим на число 15. Число 15 будет общим знаменателем дробей.

Умножим числители на дополнительные множители.

Получим неравенство 5х + 6х - 3 > 30х.

Используя правило один, перенесем слагаемые с х влево, числовые слагаемые - вправо, поменяв знаки при переносе на противоположные.

Получим -19х > 3.

Применим правило три, разделим обе части неравенства на -19. В этом случае надо поменять знак неравенства на противоположный знак.

Покажем решение на оси х.

Результатом является открытый луч, потому что неравенство строгое, а значит, число не включается в числовой промежуток. Это отрицательно-направленный луч.

Решим следующее неравенство

Обе части неравенства умножим на 4.

Получим 5 - 2х ≤ 8х. Перенесем слагаемые с х влево, числовые слагаемые - вправо

2х - 8х ≤ -5 или -10х ≤-5.

Разделим обе части неравенства на -10. Это число отрицательное, по правилу 3 необходимо поменять знак неравенства на противоположный.

Получим х≥0,5.

Покажем решение на оси х.

Результатом является закрытый луч, так как неравенство нестрогое, а значит, число 0,5 включается в числовой промежуток. Это положительно-направленный луч.

При решении неравенств после преобразований может получиться так, что коэффициент при х равен нулю, например, 0∙х> b (или 0∙х< b). Такое неравенство не имеет решений или решением является любое число.

Решим неравенство 2(х + 8) -5х < 4-3х.

Раскроем скобки 2х + 16 - 5х < 4 - 3х.

Используя свойство один, перенесем слагаемые с х влево, а числа- вправо, получим 0∙х < -12. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 < -12. Это неверное неравенство.

Ответ: нет решения или пустое множество.

Решим другое неравенство х > х - 1.

Перенесем х справа налево, получим 0∙х > -1. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 > -1. Это верное неравенство.

§ 3 Краткий итог урока

Важно запомнить:

Линейным неравенством называют неравенство вида aх+ b > 0 (или aх+ b < 0, aх+ b ≥ 0, aх+ b≤ 0), где х - переменная, a и b- некоторые числа, причем a≠0.

Решить неравенство - значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

При решении линейных неравенств используют правила, позволяющие заменить данное неравенство на более простые для решения равносильные ему неравенства:

1) если член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство;

2)если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство;

3) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим равносильное неравенство.

Целью применения этих правил является приведение линейного неравенства к виду х > b/a или х < b/a.

Решением линейного неравенства является числовой промежуток. Это может быть открытый или закрытый числовой луч, который может быть как

положительно-направленным, так и отрицательно-направленным.

Список использованной литературы:

1. Макарычев Ю.Н., Н.Г. Миндюк, Нешков К.И., Суворова С.Б., под редакцией Теляковского С.А. Алгебра: учебн. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2013.
2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина.
3. Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре: 8 класс.- М.: ВАКО, 2010.
4. Алгебра 8 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой / Авт.-сост. Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. -Волгоград: Учитель, 2005.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока: формирование навыков решения линейных неравенств.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Задачи урока:

• Образовательные:

1. вспомнить, что такое неравенство;
2. вспомнить свойства числовых неравенств;
3. выяснить с учащимися, что значит решить неравенство;
4. ввести понятие линейного неравенства;
5. познакомить учащихся с алгоритмом решения линейных неравенств.

Воспитательные:

1. отработать навыки решения линейных неравенств, применяя алгоритм решения линейных неравенств.

Развивающие:

1. развитие умения самостоятельно анализировать текст, добывать знания и делать выводы;
2. развитие познавательного интереса;
3. развитие мышления учащихся;
4. развитие умений общаться в группах, сотрудничать и взаимообучать;
5. развитие правильной речи учащихся.

Ход урока

1 этап. Мотивационный

Учитель обращается к классу: «Серьезность изучаемых в школе предметов не мешает нам творчески переосмысливать новые знания. Думая о сегодняшнем уроке, я почти случайно зарифмовала свои размышления. Послушайте, что у меня получилось, и попробуйте определить тему урока».

В математике - соотношенье между числами и выраженьями,
В них и знаки для сравнения: меньше, больше иль равно?
Я вам дам одну подсказку, вполне полезную возможно,
Мир объединяет равенство, частица «не» указывает на …… (неравенство)

Итак, тема урока «Неравенства ».

2 этап. Изучение нового материала

Стадия осмысления: (5 мин) (добывание учащимися знаний)

(применяю прием маркировки текста «Инсерт» - учащиеся читают текст, вникают в него, делают специальные пометки)

Отмечают «+» то, что им уже известно , «-» то, что новое, не знакомо .

Текст

Неравенство – это два числа или выражения, соединенные одним из знаков:

• > (больше),
• < (меньше),
• ≤ (меньше или равно),
• ≥ (больше или равно),
• ≠ (не равно).

Линейное неравенство – это неравенство вида ax + b > 0 (или ax + b < 0) , где а и b – любые числа, причем а ≠ 0 .

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Например, х + 5 < 17. Подставив вместо х значение 1 , получим 1+ 5 < 17, 6 < 17 – верное числовое неравенство. Значит, х = 1 – решение данного неравенства.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Свойства числовых неравенств:

1. Если а > b и b > c, то а > с.
2. Если а > b, то а + с > b + с.
3. Если а > b и m > 0, то аm > bm;
   Если а > b и m < 0 , то am < bm.
4. Если а > b и с > d, то a + c > b + d.
5. Если а > b и с > d, то ac > bd, где а, b, c, d – положительные числа.
6. Если а > b, а и b – неотрицательные числа, то aⁿ > bⁿ , n – любое натуральное число.

Алгоритм решения линейных неравенст	Пример: решить неравенство 5(х – 3) > 2х - 3
1. Раскрыть скобки:	5х – 15 > 2х - 3
2. Перенести все слагаемые с х влево, а числа вправо, меняя при этом знак на противоположный:	5х – 2х > -3 + 15
3. Привести подобные слагаемые:	3х > 12
4. Разделить обе части неравенства на число, стоящее перед х (если это число положительное, то знак неравенства не меняется; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный):	3х > 12: 3 х > 4
5. Перейти от аналитической модели х > 4 к геометрической модели:
6. Указать множество решений данного неравенства, записав ответ:	Ответ: (4; +∞)

Фаза рефлексии: (беседа с классом по вопросам)

Учитель составляет «Кластер» на доске.

1. Что из того, что вы прочитали, вам уже было знакомо?
2. Что из того, что вы прочитали, оказалось новой информацией?
3. А что вам напоминает алгоритм решения линейного неравенства? (решение линейного уравнения, за исключением создания геометрической модели и записи ответа)

Судя по этой схеме, вы уже многое знаете о неравенствах, а сегодня на уроке мы расширим эти знания.

3 этап. Закрепление нового материала (отработка навыков решения линейных неравенств)

Стратегия «Зигзаг»: (в группе по 5 человек, 5 групп) отработка навыков решения линейных уравнений: каждый ученик получает свое неравенство, решает, применяя алгоритм решения линейного неравенства, затем обсуждение в группах и объяснение другим ученикам.

1. Попытка решить самому!!! 5 мин

Задание: Решить неравенство и изобразить множество его решений на координатной прямой.

№1. 17 – х > 2∙(5 – 3х)

№2. 2∙(32 – 3х) ≥ 1- х

№3. 8 + 5х ≤ 3∙(7 + 2х)

№4. 2∙(0,1х – 1) < 7 – 0,8х

№5. 5х + 2 ≤ 1 – 3∙(х + 2)

2. Разбор задания в группе. 5 мин

Переходят в экспертные группы с одинаковым заданием. Обсуждают решения, консультируют друг друга и исправляют свои ошибки, если они есть. Необходимо, чтобы каждый понял решение своего неравенства.

Учитель выступает в роли консультанта.

(Ученик сам – группа учеников – учитель)

3. Взаимообучение. 5-7 мин Ученики возвращаются на свои места и рассказывают ход решения своего неравенства по очереди другим, идет запись в тетрадь неравенств.

Задача группы: чтобы каждый овладел алгоритмом решения линейных неравенств.

После того, как ученики готовы идет самопроверка нескольких неравенств через ИКТ, нескольких у доски.

Обсуждение (беседа): Кто верно выполнил решение всех неравенств («один за всех и все за одного ») поднимите руку? Кто допустил ошибки? Где и почему?

Если позволит время: для тех, кто не ошибся решить (или в качестве домашнего задания) творческое задание (одно на выбор) и сделать к нему соответствующий вывод:

1) 2(х + 8) – 5х < 4 – 3х (решения нет)

2)

3) При каких значениях х двучлен 5х – 7 принимает положительные значения?

4 этап. Подведение итогов

Ребята! Чем мы на уроке занимались? Чему учились?

Давайте вспомним: Что значит решить неравенство? Чем мы будем пользоваться при решении неравенства? (обратить еще раз внимание на алгоритм)

Ребята! Как вы думаете, кто сегодня отличился на уроке? (оценивают себя сами)

5 этап. Домашнее задание

П.34 В программе для создания слайдов выполнить презентацию о неравенстве Коши.

Хочу я вам дать совет:

«Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий»

А.И. Маркушевич

Всем спасибо за урок! Желаю успехов!

На этом уроке мы начнём изучать неравенства и их свойства. Мы рассмотрим простейшие неравенства - линейные и методы решения систем и совокупностей неравенств.

Мы часто сравниваем те или иные объекты по их числовым характеристикам: товары по их ценам, людей по их росту или возрасту, смартфоны по их диагонали или результаты команд по количеству забитых мячей в матче.

Соотношения вида или называют неравенствами . Ведь в них записано, что числа не равны, а больше или меньше друг друга.

Чтобы сравнивать натуральные числа в десятичной записи, мы упорядочили цифры: , а дальше чаще всего использовали преимущества десятичной записи: начинали сравнивать цифры чисел с крайних левых разрядов до первого несоответствия.

Но этот способ не всегда удобен.

Проще всего сравнивать положительные числа, т.к. они обозначают количества. Действительно, если число можно эквивалентно представить в виде суммы числа с каким-то другим числом , то больше : .

Эквивалентная запись: .

Это определение можно расширить не только на положительные числа, но и на любые два числа: .

Число больше числа (записывается как или ), если число является положительным. Соответственно, если число отрицательно, то .

Например, сравним две дроби: и . Сразу так и не скажешь, какая из них больше. Поэтому обратимся к определению и рассмотрим разность :

Получили отрицательное число, значит, .

На числовой оси большее число всегда будет располагаться правее, меньшее - левее (Рис. 1).

Рис. 1. На числовой оси большее число располагается правее, меньшее - левее

Зачем нужны такие формальные определения? Одно дело - наше понимание, а другое - техника. Если сформулировать строгий алгоритм сравнения чисел, то его можно поручить компьютеру. В этом есть плюс - такой подход избавляет нас от выполнения рутинных операций. Но есть и минус - компьютер точно следует заданному алгоритму. Если компьютеру поставлена задача: поезд должен отправиться со станции в , то, даже если вы окажетесь на платформе в , на этот поезд вы уже не успеете. Поэтому алгоритмы, которые мы задаём компьютеру для выполнения различных вычислений или решения задач, должны быть очень точными и максимально формализованными.

Как и в случае равенств, с неравенствами можно совершать некоторые действия и получать эквивалентные неравенства.

Рассмотрим некоторые из них.

1. Если , то для любого числа . Т.е. можно прибавлять или вычитать одно и то же число к обеим частям неравенства.

У нас уже есть хороший образ - весы. Если одна из чашек весов перевешивала, то, сколько бы мы ни добавляли (или не забирали) к обеим чашам, эта ситуация не изменится (Рис. 2).

Рис. 2. Если чаши весов не уравновешены, то после добавления (убавления) к ним одинакового количества гирь они останутся в таком же неуравновешенном положении

Это действие можно сформулировать по-другому: можно переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, изменяя их знак на противоположный: .

2. Если , то и для любого положительного . Т.е. обе части неравенства можно умножать или делить на положительное число и его знак не изменится.

Для понимания этого свойства можно опять воспользоваться аналогией с весами: если, к примеру, левая чаша перевешивала, то, если возьмём две левые чаши и две правые, перевес точно сохранится. Та же ситуация для , чаш и т.д. Даже если возьмём половины каждой из чаш, ситуация тоже не изменится (Рис. 3).

Рис. 3. Если чаши весов не уравновешены, то, после того как забрать половину каждой из них, они останутся в таком же неуравновешенном положении

Если же умножить или разделить обе части неравенства на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. С аналогией для этой операции чуть сложнее - отрицательных количеств нет. Здесь поможет тот факт, что у отрицательных чисел всё наоборот (чем больше модуль числа, тем меньше само число): .

Для чисел разных знаков ещё легче: . Т.е., умножая на , мы должны изменить знак неравенства на противоположный.

Что касается умножения на отрицательное число , то можно выполнить эквивалентную операцию из двух частей: сначала умножить на противоположное положительное число - как мы уже знаем, знак неравенства не изменится: .

Подробнее о сложении и умножении

В первом свойстве мы записали: , но при этом сказали, что можно не только прибавлять, но и вычитать. Почему? Потому что вычитание числа - это то же самое, что и прибавление противоположного числа: . Именно поэтому мы говорим не только о сложении, но и о вычитании.

Аналогично и со вторым свойством: деление - это умножение на обратное число: . Поэтому во втором свойстве мы говорим не только об умножении на число, но и о делении.

3. Для положительных чисел и , если , то .

Это свойство мы хорошо знаем: если мы торт делим на человек, то, чем больше , тем меньше достанется каждому. Например: , поэтому (действительно, четвёртая часть торта явно меньше третьей части того же торта) (Рис. 4).

Рис. 4. Четвёртая часть торта меньше третьей части того же торта

4. Если и , то .

Продолжая аналогию с весами: если на одних весах левая чаша перевешивает правую и на других - такая же ситуация, то, ссыпав отдельно содержимое левых и отдельно содержимое правых чаш, снова получим, что левая чаша перевешивает (Рис. 5).

Рис. 5. Если левые чаши двух весов перевешивают правые, то, ссыпав отдельно содержимое левых и отдельно содержимое правых чаш, получится, что левая чаша перевешивает

5. Для положительных , если и , то .

Здесь аналогия чуть более сложная, но тоже ясная: если левая чаша тяжелее правой и мы возьмём больше левых чаш, чем правых, то точно получим более массивную чашу (Рис. 6).

Рис. 6. Если левая чаша тяжелее правой, то если взять больше левых чаш, чем правых, то получится более массивная чаша

Последние два свойства интуитивно понятны: сложив или умножив числа побольше, мы в результате получим большее число.

Большинство из этих свойств можно строго доказать, используя различные алгебраические аксиомы и определения, но мы не будем этого делать. Для нас процесс доказательства представляет не такой интерес, как непосредственно полученный результат, который мы будем использовать на практике.

До сих пор мы говорили о неравенствах как о способе записи результата сравнения двух чисел: или . Но неравенства можно использовать и для записи различной информации об ограничениях для того или иного объекта. В жизни мы часто используем такие ограничения для описания, например: Россия - это миллионы людей от Калининграда до Владивостока; в лифте можно перевозить не больше кг, а в пакет - класть не больше кг. Ограничения могут быть использованы и для классификации объектов. Например, в зависимости от возраста выделяют различные категории населения - дети, подростки, молодёжь и т.д.

Во всех рассмотренных примерах можно выделить общую идею: некоторая величина ограничена сверху или снизу (или с обеих сторон сразу). Если - грузоподъёмность лифта, а - допустимая масса товаров, которые можно класть в пакет, то описанную выше информацию можно записать так: , и т.д.

В рассмотренных примерах мы были немного неточны. Формулировка «не больше» подразумевает, что в лифте можно перевозить ровно кг, а в пакет можно положить ровно кг. Поэтому правильнее было записать так: или . Естественно, так писать неудобно, поэтому придумали специальный знак: , который читается как «меньше или равно». Такие неравенства называются нестрогими (соответственно, неравенства со знаками - строгими ). Их используют тогда, когда переменная может быть не только строго больше или меньше, но может и равняться граничному значению.

Решением неравенства называются все такие значения переменной, при подстановке которых полученное числовое неравенство будет верным. Рассмотрим, например, неравенство: . Числа - решения этого неравенства, т.к. неравенства являются верными. А вот числа и не являются решениями, поскольку числовые неравенства и не являются верными. Решить неравенство , значит, найти все значения переменных, при которых неравенство будет верным.

Вернемся к неравенству . Его решения можно эквивалентно описать так: все действительные числа, которые больше . Понятно, что таких чисел бесконечное множество, как же в таком случае записать ответ? Обратимся к числовой оси: все числа, большие , расположены справа от . Заштрихуем эту область, тем самым показывая, что это и будет ответ к нашему неравенству. Чтобы показать, что число не является решением, его заключают в пустой круг, или, по-другому, выкалывают точку (Рис. 7).

Рис. 7. На числовой оси показано, что число не является решением (выколотая точка)

Если же неравенство нестрогое и выбранная точка является решением, то её заключают в закрашенный круг.

Рис. 8. На числовой оси показано, что число является решением (закрашенная точка)

Итоговый ответ удобно записывать с помощью промежутков . Промежуток записывается по следующим правилам:

Знак обозначает бесконечность, т.е. показывает, что число может принимать сколь угодно большое () или сколь угодно малое значение ().

Ответ к неравенству мы можем записать так: или просто: . Это означает, что неизвестная принадлежит указанному промежутку, т.е. может принимать любые значения из этого промежутка.

Если обе скобки промежутка круглые, как в нашем примере, то такой промежуток ещё называют интервалом .

Обычно решением неравенства является промежуток, но возможны и другие варианты, например, решением может быть множество, состоящее из одного или несколько чисел. Например, неравенство имеет только одно решение . Ведь при любых других значениях выражение будет положительным, а значит, соответствующее числовое неравенство выполняться не будет.

Неравенство может и не иметь решений. В этом случае ответ записывают как («Переменная принадлежит пустому множеству»). В том, что решением неравенства может быть пустое множество, нет ничего необычного. Ведь в реальной жизни ограничения также могут привести к тому, что не найдется ни одного элемента, удовлетворяющего требованиям. Например, людей с ростом выше метров и при этом весом до кг - точно нет. Множество таких людей не содержит ни одного элемента, или, как говорят, это пустое множество.

Неравенства могут использоваться не только для записи известной информации, но и, как математические модели, для решения различных задач. Пусть у вас есть рублей. Сколько мороженых по рублей вы можете купить на эти деньги?

Другой пример. У нас есть рублей и нам нужно купить мороженое на друзей. По какой цене мы можем выбрать мороженое для покупки?

В жизни каждый из нас умеет решать такие простые задачи в уме, но задача математики - разработать удобный инструмент, с помощью которого можно решить не одну конкретную задачу, а целый класс разных задач независимо от того, о чём идёт речь - количество порций мороженого, машин для перевозки грузов или рулонов обоев для комнаты.

Перепишем условие первой задачи про мороженое на математическом языке: одна порция стоит рублей, количество порций, которое мы можем купить, нам неизвестно, обозначим как . Тогда общая стоимость нашей покупки: рублей. И, по условию, эта сумма не должна превышать рублей. Избавляясь от наименований, получаем математическую модель: .

Аналогично для второй задачи (где - стоимость порции мороженого): . Конструкции , - простейшие примеры неравенств с переменной, или линейных неравенств.

Линейными называются неравенства вида , а также те, которые можно привести к такому виду эквивалентными преобразованиями. Например: ; ; .

Ничего нового в таком определении для нас нет: отличие линейных неравенств от линейных уравнений только в замене знака равенства на знак неравенства. Название также связано с линейной функцией , которая фигурирует в левой части неравенства (Рис. 9).

Рис. 9. График линейной функции

Соответственно, алгоритм решения линейных неравенств почти такой же, как и алгоритм решения линейных уравнений:

Разберём несколько примеров.

Пример 1. Решить линейное неравенство: .

Решение

Перенесём слагаемое с неизвестной из правой части неравенства в левую: .

Делим обе части на отрицательное число , знак неравенства меняется на противоположный: . Сделаем рисунок на оси (Рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к примеру 1

Левого края у промежутка нет, поэтому пишем . Левый край промежутка , неравенство строгое, поэтому запишем с круглой скобкой. Получаем интервал: .

Пример 2. Решить линейное неравенство:

Решение

Раскроем скобки в левой и правой частях неравенства: .

Приведём подобные слагаемые: .

Сделаем рисунок на оси (Рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к примеру 2

Получаем промежуток: .

Что делать, если после приведения подобных слагаемых пропала неизвестная

Пример 1. Решить линейное неравенство: .

Решение

Раскроем скобки: .

Перенесём в левую часть все слагаемые с переменной, а в правую - без переменной:

Приведём подобные слагаемые: .

Получаем: .

Неизвестной нет, что же делать? На самом деле снова ничего нового. Вспомните, что мы делали в таких случаях для линейных уравнений: если получилось верное равенство, то решение - любое действительное число, если получилось неверное равенство, то решений у уравнения - нет.

Так же поступаем и здесь. Если получившееся числовое неравенство верно, значит, неизвестная может принимать любые значения: ( - множество всех действительных чисел). Но числовой оси это можно изобразить следующим образом (Рис. 1):

Рис. 1. Неизвестная может принимать любые значения

А с помощью интервала записать так: .

Если же числовое неравенство получилось неверным, то исходное неравенство не имеет решений: .

В нашем случае неравенство неверно, поэтому ответ: .

В различных задачах нам может встретиться не одно, а сразу несколько условий или ограничений. Например, чтобы решить транспортную задачу, нужно учесть количество машин, время в пути, грузоподъёмность и прочее. Каждое из условий на математическом языке будет описываться своим неравенством. При этом возможны два варианта:

1. Все условия выполняются одновременно. Такой случай описывается системой неравенств . При записи они объединяются фигурной скобкой (можно прочитать её как союз И): .

2. Должно выполняться хотя бы одно из условий. Это описывается совокупностью неравенств (можно прочитать её как союз ИЛИ): .

Системы и совокупности неравенств могут содержать несколько переменных, их количество и сложность могут быть любыми. Но мы будем подробно изучать самый простой случай: системы и совокупности неравенств с одной переменной.

Как их решать? Нужно по отдельности решить каждое из неравенств, а дальше всё зависит от того, система перед нами или совокупность. Если это система , должны выполняться все условия. Если Шерлок Холмс определил, что преступник был блондином и имел размер ноги, то среди подозреваемых должны остаться только блондины с размером ноги. Т.е. нам подойдут только те значения, которые соответствуют и одному, и второму, и, если есть, третьему, и другим условиям. Они находятся на пересечении всех полученных множеств. Если использовать числовую ось, то - на пересечении всех заштрихованных частей оси (Рис. 12).

Рис. 12. Решение системы - пересечение всех заштрихованных частей оси

Если это совокупность , то нам подойдут все значения, которые являются решениями хотя бы одного неравенства. Если Шерлок Холмс определил, что преступником мог быть или блондин, или человек с размером ноги, то среди подозреваемых должны оказаться как все блондины (независимо от размера обуви), так и все люди с размером ноги (независимо от цвета волос). Т.е. решением совокупности неравенств будет объединение множеств их решений. Если использовать числовую ось, то - объединение всех заштрихованных частей оси (Рис. 13).

Рис. 13. Решение совокупности - объединение всех заштрихованных частей оси

Подробнее о пересечении и объединении вы можете узнать ниже.

Пересечение и объединение множеств

Термины «пересечение» и «объединение» относятся к понятию множества. Множество - набор элементов, отвечающим некоторым критериям. Примеров множеств вы можете придумать сколько угодно: множество одноклассников, множество футболистов сборной России, множество машин в соседнем дворе и т.д.

Вы уже знакомы с числовыми множествами: множеством натуральных чисел , целых , рациональных , действительных чисел . Есть и пустые множества , они не содержат элементов. Решения неравенств - это тоже множества чисел.

Пересечением двух множеств и называется такое множество , которое содержит все элементы, принадлежащие одновременно и множеству , и множеству (Рис. 1).

Рис. 1. Пересечение множеств и

Например, пересечение множества всех женщин и множества президентов всех стран будут все женщины-президенты.

Объединением двух множеств и называется такое множество , которое содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или (Рис. 2).

Рис. 2. Объединение множеств и

Например, объединением множества футболистов «Зенита» в сборной России и футболистов «Спартака» в сборной России будут все футболисты «Зенита» и «Спартака», которые играют за сборную. Кстати, пересечение этих множеств будет пустым множеством (игрок не может одновременно играть за два клуба).

С объединением и пересечением числовых множеств вы уже сталкивались, когда искали НОК и НОД двух чисел. Если и - это множества, состоящие из простых множителей, полученных при разложении чисел, то НОД получается из пересечения этих множеств, а НОК - из объединения. Пример:

Пример 3. Решить систему неравенств: .

Решение

Решим по отдельности неравенства. В первом неравенстве перенесём слагаемое без переменной в правую часть с противоположным знаком: .

Приведём подобные слагаемые: .

Разделим обе части неравенства на положительное число , знак неравенства не меняется:

Во втором неравенстве перенесём в левую часть слагаемое с переменной, а в правую - без переменной: . Приведём подобные слагаемые: .

Разделим обе части неравенства на положительное число , знак неравенства не меняется:

Изобразим решения отдельных неравенств на числовой оси. По условию, у нас система неравенств, поэтому ищем пересечение решений (Рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру 3

По сути первая часть решения систем и совокупностей неравенств с одной переменной сводится к решению отдельных линейных неравенств. В этом вы можете попрактиковаться самостоятельно (например, с помощью наших тестов и тренажёров), а мы подробнее остановимся на нахождении объединений и пересечений множеств решений.

Пример 4. Пусть было получено следующее решение отдельных уравнений системы:

Решение

Заштрихуем на оси область, соответствующую решению первого уравнения (Рис. 15); решение второго уравнения - пустое множество, ему на оси ничего не соответствует.

Рис. 15. Иллюстрация к примеру 4

Это система, поэтому нужно искать пересечение решений. Но их нет. Значит, ответом к системе будем также пустое множество: .

Пример 5. Еще пример: .

Решение

Отличие в том, что это уже совокупность неравенств. Поэтому нужно выбрать область на оси, которая соответствует решению хотя бы одного из уравнений. Получим ответ: .

Теория:

При решении неравенств используют следующие правила:

1. Любой член неравенства можно перенести из одной части
неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.

2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на
противоположный.

Решить неравенство − 8 x + 11 < − 3 x − 4
Решение.

1. Перенесём член − 3 x в левую часть неравенства, а член 11 — в правую часть неравенства, при этом поменяем знаки на противоположные у − 3 x и у 11 .
Тогда получим

− 8 x + 3 x < − 4 − 11

− 5 x < − 15

2. Разделим обе части неравенства − 5 x < − 15 на отрицательное число − 5 , при этом знак неравенства < , поменяется на > , т.е. мы перейдём к неравенству противоположного смысла.
Получим:

− 5 x < − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3 — решение заданного неравенства.

Обрати внимание!

Для записи решения можно использовать два варианта: x > 3 или в виде числового промежутка.

Отметим множество решений неравенства на числовой прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Ответ: x > 3 или x ∈ (3 ; + ∞ )

Алгебраические неравенства.

Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.

Методы решения неравенств зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.

1. I . Квадратные неравенства , то есть неравенства вида

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Чтобы решить неравенство можно:

1. Квадратный трехчлен разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Корни многочлена нанести на числовую ось. Корни разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом из которых соответствующая квадратичная функция будет знакопостоянной.
2. Определить знак a (x - x 1) (x - x 2) в каждом промежутке и записать ответ.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то при D<0 и a>0 квадратный трехчлен при любом x положителен.

• Решить неравенство. x 2 + x - 6 > 0.

Разложим квадратный трехчлен на множители (x + 3) (x - 2) > 0

Ответ: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.

Ответ: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15 < 0.

Здесь D < 0, a = 1 > 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.

Ответ: x Î Ø.

Решить неравенства:

1. 1 + х - 2х² < 0. Ответ:
2. 3х² - 12х + 12 ≤ 0. Ответ:
3. 3х² - 7х + 5 ≤ 0. Ответ:
4. 2х² - 12х + 18 > 0. Ответ:
5. При каких значениях a неравенство

x² - ax > выполняется для любых х? Ответ:

1. II . Рациональные неравенства высших степеней, то есть неравенства вида

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Отметить на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль.

Определить знаки многочлена на каждом промежутке.

1) Решить неравенство x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x < 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Итак, x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Ответ: (0; 1) (2; 3).

2) Решить неравенство (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4 <0.

Отметим на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль. Это х = 1, х = -2, х = ½, х = - ½.

В точке х = - ½ смены знака не происходит, потому что двучлен (2х + 1) возводится в четную степень, то есть выражение (2x + 1) 4 не меняет знак при переходе через точку х = - ½.

Ответ: (-∞; -2) (½; 1).

3) Решить неравенство: х 2 (х + 2) (х - 3) ≥ 0.

Данное неравенство равносильно следующей совокупности

Решением (1) является х (-∞; -2) (3; +∞). Решением (2) являются х = 0, х = -2, х = 3. Объединяя полученные решения, получаем х Î (-∞; -2] {0} {0} }