Числовые неравенства свойства 8 кл. Числовые неравенства и их свойства
Урок по теме «Числовые неравенства»
Цели:
- Образовательные: ввести определение понятий « больше» и « меньше», числового неравенства, научить применять их к доказательству неравенств;
- Развивающие: развивать умение использовать теоретические знания при решении практических задач, способность анализировать и обобщать полученные данные; развивать познавательный интерес к математике, расширять кругозор;
- Воспитательные: формировать положительную мотивацию обучения.
Ход урока:
1.Подготовка и мотивация.
Сегодня мы начинаем изучать важную и актуальную тему « Числовые неравенства». Если немного изменить слова великого китайского педагога Конфуция (жил более 2400 лет тому назад) можно сформулировать задачу нашего урока: « Я слышу и забываю. Я вижу и запоминаю. Я делаю и понимаю.» Давайте сформулируем вместе цель урока. (Учащиеся формулируют цель, учитель дополняет).
Изучить числовые неравенства и их определение, и научиться применять их на практике.
На практике нам часто приходится сравнивать величины. Например, площадь территории России (17 098 242 ) и площадь территории Франции (547 030 ) , протяженность реки Оки (1500 км) и протяженность реки Дон (1870км).
2.Актуализация опорных знаний .
Ребята, давайте вспомним всё, что мы знаем о неравенствах.
Ребята, посмотрите на доску, сравните:
3,6748 и 3,675 36,5810 и 36,581 | И 0,45 5,5 и | 15 и -23 115 и -127 |
Что такое неравенство?
Неравенство - соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого.
Знаки неравенства (› ; ‹)появились впервые в 1631г., но понятие неравенства, как и понятие равенства, возникло в глубокой древности. В развитие математической мысли без сравнения величин, без понятий «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения.
Какие правила использовали для сравнения чисел?
а) из двух положительных чисел больше то, модуль которого больше;
б) из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше;
в) любое отрицательное число меньше положительного;
г) любое положительное число больше нуля;
д) любое отрицательное число меньше нуля.
Какое правило применяем для сравнения чисел, расположенных на координатной прямой?
(На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее – точкой, лежащей левее.)
Заметим, что в зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот или иной способ сравнения. Это неудобно. Нам было бы легче иметь универсальный способ сравнения чисел, который охватил бы все случаи.
3. Изучение нового материала.
Расположите в порядке возрастания числа: 8; 0; -3; -1,5.
Какое число самое маленькое? Какое число самое большое?
Какие числа можно подставить вместо a и b?
a – b =8
a – b =-3
a – b =-8
a – b =1,5
a – b = 0
Обратите внимание, что при вычитании из большего числа меньшего, получается положительное число; при вычитании из меньшего числа большего, получается отрицательное число.
Универсальный способ сравнения чисел основан на определении числовых неравенств: Число a больше числа b, если разность a – b – положительное число; число а меньше числа b, если разность a – b – отрицательное число. Заметим, что если разность a – b = 0, то числа а и b равны.
4. Закрепление нового материала.
Сравните числа а и b, если:
А) а – b = - 0,8 (а меньше b, т.к. разность – отриц.число)
Б) а – b = 0 (а = b)
В) а – b = 5, 903 (а больше b, т.к. разность – полож.число).
Решить с объяснением у доски № 724, 725 (устно), 727 (если позволит время), 728 (а,г), 729 (в,г), 730, 732.
5. Итоги урока. Д/з. выуч. опр. №726, 728 (а, г), 729 (в,г), 731 .
Ребята, сегодня на уроке мы повторили ранее изученный материал по неравенствам и узнали много нового о неравенствах.
1)Что такое «неравенство»?
2)Как сравнить два числа?
3)Ребята, поднимите руку, у кого на уроке возникли трудности?
Предварительный просмотр:
а) из двух положительных чисел больше то, модуль которого больше; б) из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше; в) л юбое отрицательное число меньше положительного; г) любое положительное число больше нуля; д) любое отрицательное число меньше нуля.
Какие числа можно подставить вместо a и b ? a – b = 8 a – b =-3 a – b =- 8 a – b =1,5 a – b = 0 Расположите в порядке возрастания числа: 8; 0; -3; -1,5.
Число a больше числа b , если разность a – b – положительное число; число а меньше числа b , если разность a – b – отрицательное число. Заметим, что если разность a – b равна 0 , то числа а и b равны.
Сравните числа а и b , если: А) а – b = - 0,8 Б) а – b = 0 В) а – b = 5, 903
Тема урока:
Числовые неравенства.
Алгебра 8 класс
Цели:
- повторить правила сравнения различных чисел;
- закрепить понятия «меньше» и «больше»;
- познакомиться со способом сравнения любых чисел и буквенных выражений;
- научиться применять способ сравнения при выполнении упражнений
Сравните числа:
11 и -13 7 и 2
, =
17 -3 -17-(-3) 0
11,5 13,6 11,5-13,6 0
Вывод: Если а b, то а – b 0.
- И, наоборот, если а – b 0, то а 0.
b, то а – b 0. И, наоборот, если а – b 0, то а b " width="640"
Устная работа
Сравните числа. Сравните значение разности этих чисел с нулем. , =
0,7 0,03 0,7-0,03 0
- Вывод: Если а b, то а – b 0.
- И, наоборот, если а – b 0, то а b
Устная работа
Сравните числа. Сравните значение разности этих чисел с нулем. , =
Вывод: Если а = b, то а – b = 0.
И, наоборот, если а – b = 0, то а = b.
Сравнить числа а и b, если:
а – b = - 0,07 , то а b
а – b = 0 , то а b
а – b = 11,5 , то а b
Известно, что а b.
Может ли разность а – b выражаться числом 7,15 ? -12 ? 0 ?
Способ сравнения любых чисел
Число а больше b , если разность а – b – положительное число
Число а меньше b , если разность а – b – отрицательное число
Способ сравнения чисел
Чтобы сравнить два числа, нужно:
- найти их разность;
- сравнить разность с нулем;
- сделать вывод.
Работа с учебником
№ 726,
№ 730,
№ 731.
Рефлексия
Когда первое число меньше второго?
Когда первое число больше второго?
Когда первое число равно второму?
Сформулируйте способ сравнения чисел (буквенных выражений).
- Я доволен уроком, мне очень понравилось.
- Мне понравилось на уроке, но в моих знаниях есть пробелы.
- Я не доволен уроком, ничего не понял и как решать примеры я не знаю.
Задание на дом
п.28. опред.; № 728,
Урок 8класс по теме «Числовые неравенства»
Цели:
Образовательные: ввести определение понятий « больше» и « меньше», числового неравенства, научить применять их к доказательству неравенств;
Развивающие: развивать умение использовать теоретические знания при решении практических задач, способность анализировать и обобщать полученные данные; развивать познавательный интерес к математике, расширять кругозор;
Воспитательные: формировать положительную мотивацию обучения.
Ход урока:
1.Подготовка и мотивация.
Сегодня мы начинаем изучать важную и актуальную тему « Числовые неравенства». Если немного изменить слова великого китайского педагога Конфуция (жил более 2400 лет тому назад) можно сформулировать задачу нашего урока: « Я слышу и забываю. Я вижу и запоминаю. Я делаю и понимаю.» Давайте сформулируем вместе цель урока. (Учащиеся формулируют цель, учитель дополняет).
Изучить числовые неравенства и их определение, и научиться применять их на практике.
На практике нам часто приходится сравнивать величины. Например, площадь территории России (17 098 242 ) и площадь территории Франции (547 030 ) , протяженность реки Оки (1500 км) и протяженность реки Дон (1870км).
2.Актуализация опорных знаний .
Ребята, давайте вспомним всё, что мы знаем о неравенствах.
Ребята, посмотрите на доску, сравните:
3,6748 и 3,675
36,5810 и 36,581
и 0,45
5,5 и
15 и -23
115 и -127
Что такое неравенство?
Неравенство - соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого.
Знаки неравенства (› ; ‹)появились впервые в 1631г., но понятие неравенства, как и понятие равенства, возникло в глубокой древности. В развитие математической мысли без сравнения величин, без понятий «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения.
Какие правила использовали для сравнения чисел?
а) из двух положительных чисел больше то, модуль которого больше;
б) из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше;
в) любое отрицательное число меньше положительного;
г) любое положительное число больше нуля;
д) любое отрицательное число меньше нуля.
Какое правило применяем для сравнения чисел, расположенных на координатной прямой?
(На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее – точкой, лежащей левее.)
Заметим, что в зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот или иной способ сравнения. Это неудобно. Нам было бы легче иметь универсальный способ сравнения чисел, который охватил бы все случаи.
3. Изучение нового материала.
Расположите в порядке возрастания числа: 8; 0; -3; -1,5.
Какое число самое маленькое? Какое число самое большое?
Какие числа можно подставить вместо a и b ?
a – b =8
a – b =-3
a – b =-8
a – b =1,5
a – b = 0
Обратите внимание, что при вычитании из большего числа меньшего, получается положительное число; при вычитании из меньшего числа большего, получается отрицательное число.
Универсальный способ сравнения чисел основан на определении числовых неравенств: Число a больше числа b , если разность a – b – положительное число; число а меньше числа b , если разность a – b – отрицательное число. Заметим, что если разность a – b = 0, то числа а и b равны.
4. Закрепление нового материала.
Сравните числа а и b , если:
А) а – b = - 0,8 (а меньше b , т.к. разность – отриц.число)
Б) а – b = 0 (а = b )
В) а – b = 5, 903 (а больше b , т.к. разность – полож.число).
Решить с объяснением у доски № 724, 725 (устно), 727 (если позволит время), 728 (а,г), 729 (в,г), 730, 732.
5. Итоги урока. Д/з. выуч. опр. №726, 728 (а, г), 729 (в,г), 731 .
Ребята, сегодня на уроке мы повторили ранее изученный материал по неравенствам и узнали много нового о неравенствах.
1)Что такое «неравенство»?
2)Как сравнить два числа?
3)Ребята, поднимите руку, у кого на уроке возникли трудности?
Неравенство - это запись, в которой числа, переменные или выражения соединены знаком <, >, ⩽ или ⩾. То есть неравенством можно назвать сравнение чисел, переменных или выражений. Знаки < , > , ⩽ и ⩾ называются знаками неравенства .
Виды неравенств и как они читаются:
Как видно из примеров, все неравенства состоят из двух частей: левой и правой, соединённых одним из знаков неравенства. В зависимости от знака, соединяющего части неравенств, их делят на строгие и нестрогие.
Строгие неравенства - неравенства, у которых части соединены знаком < или >. Нестрогие неравенства - неравенства, у которых части соединены знаком ⩽ или ⩾.
Рассмотрим основные правила сравнения в алгебре:
- Любое положительное число больше нуля.
- Любое отрицательное число меньше нуля.
- Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютное значение меньше. Например, -1 > -7.
- a
и b
положительна:
a - b > 0,
То a больше b (a > b ).
- Если разность двух неравных чисел a
и b
отрицательна:
a - b < 0,
То a меньше b (a < b ).
- Если число больше нуля, то оно положительное:
a > 0, значит a - положительное число.
- Если число меньше нуля, то оно отрицательное:
a < 0, значит a - отрицательное число.
Равносильные неравенства - неравенства, являющиеся следствием другого неравенства. Например, если a меньше b , то b больше a :
a < b и b > a - равносильные неравенства
Свойства неравенств
- Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или вычесть из обеих частей одно и то же число, то получится равносильное неравенство, то есть,
если a > b , то a + c > b + c и a - c > b - c
Из этого следует, что можно переносить члены неравенства из одной части в другую с противоположным знаком. Например, прибавив к обеим частям неравенства a - b > c - d по d , получим:
a - b > c - d
a - b + d > c - d + d
a - b + d > c
- Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное неравенство, то есть,
- Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то получится неравенство противоположное данному, то есть
Следовательно, при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число надо изменить знак неравенства на противоположный.
Это свойство можно использовать для изменения знаков у всех членов неравенства, умножая обе его части на -1 и изменяя знак неравенства на противоположный:
-a + b > -c
(-a + b ) · -1 < (-c ) · -1
a - b < c
Неравенство -a + b > -c равносильно неравенству a - b < c
