Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где a – большая полуось; b – малая полуось. Точки F1(c,0) и F2(-c,0) − c называются

a, b - полуоси эллипса.

Нахождение фокусов, эксцентриситета, директрис эллипса, если известно его каноническое уравнение.

Определение гиперболы. Фокусы гиперболы.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

По определению |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

Каноническое уравнение гиперболы. Полуоси гиперболы. Построение гиперболы, если известно ее каноническое уравнение.

Каноническое уравнение:

Большая полуось гиперболы составляет половину минимального расстояния между двумя ветвями гиперболы, на положительной и отрицательной сторонах оси (слева и справа относительно начала координат). Для ветви расположенной на положительной стороне, полуось будет равна:

Если выразить её через коническое сечение и эксцентриситет, тогда выражение примет вид:

Нахождение фокусов, эксцентриситета, директрис гиперболы, если известно ее каноническое уравнение.

Эксцентриситет гиперболы

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с –

половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с2 – а2 = b2:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Директрисы гиперболы

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Определение параболы. Фокус и директриса параболы.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.

Каноническое уравнение параболы. Параметр параболы. Построение параболы.

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат: (или , если поменять местами оси).

Построение параболы при заданной величине параметра p выполняется в следующей последовательности:

Проводят ось симметрии параболы и откладывают на ней отрезок KF=p;

Через точку K перпендикулярно оси симметрии проводят директрису DD1;

Отрезок KF делят пополам получают вершину 0 параболы;

От вершины отмеряют ряд произвольных точек 1, 2, 3, 5, 6 с постепенно увеличивающемся расстоянием между ними;

Через эти точки проводят вспомогательные прямые перпендикулярные оси параболы;

На вспомогательных прямых делают засечки радиусом равным расстоянию от прямой до директрисы;

Полученные точки соединяют плавной кривой.

Можно показать (мы этого не делаем), что уравнение (2) равносильно уравнению (1), хотя оно и получено из (1) путем неэквивалентных преобразований. Это и означает, что уравнение (2)-уравнение данного эллипса. Оно называется каноническим (т.е. наиболее простым).

Видно, что уравнение эллипса есть уравнение 2-ого порядка, т.е. эллипс-линия 2-го порядка.

Для эллипса введем понятие эксцентриситет. Это величина . Для эллипса эксцентриситет . Так как с и а известны, то тоже известен. Выражение фокальных радиусов точки М(х, у) эллипса легко получаем из предыдущих рассуждений: . r 2 найдем из равенства (3)

Замечание Если в стол вбить два гвоздя (F1 и F2), привязать к ним обоими концами шнурок, длина которого больше расстояния между гвоздями (2а ), натянуть шнур и куском мела вести по столу, то он вычертит замкнутую кривую-эллипс, которая симметрична относительно обеих осей и начала координат.

4. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению.

В замечании мы из соображений наглядности сделали вывод о форме эллипса. Проведем теперь исследование формы эллипса, анализируя его каноническое уравнение:

Найдем точки пересечения с осями координат. Если ,у=0, то , , т.е. имеем две точки А1(-а,0) и А2(а,0). Если х=0, то , . Т.е. имеем две точки В1(0,-b) и B2(0,b) (т.к. , то ). Точки А1,А2,В1,В2 называют вершинами эллипса.

2) Область расположения эллипса можно определить из следующих соображений:

а) из уравнения эллипса следует, что , т.е. , т.е. или .

б) аналогично , т.е. или . Это показывает, что весь эллипс расположен в прямоугольнике, образованном прямыми и .

3) Далее, в уравнение эллипса переменные х и у входят только в четных степенях, а это означает, что кривая симметрична относительно каждой из осей и относительно начала координат. Д-но, если радиусу принадлежит точка (х, у), то ему принадлежат и точки (х, -у), (-х, у) и (-х, -у). Поэтому достаточно рассмотреть лишь ту часть эллипса, которая лежит в первой четверти, где и .

4) Из уравнения эллипса имеем , а в первой четверти . Если х=0, то у=b. Это есть точка B2(0,b). Пусть х увеличивается от 0 до а, тогда y уменьшается от b до 0. Тем самым точка М(х, у), начиная из точки В2(0, b) описывая дугу приходит в точку А(а,0). Можно строго доказать, что дуга выпуклостью направлена вверх. Отражая зеркально эту дугу в осях координат и начале, мы и получим весь эллипс. Оси симметрии эллипса называются его осями, точка О пересечения их-центром эллипса. Длину отрезков ОА1=ОА2=а называют большой полуосью эллипса, отрезков ОВ1,ОВ2=b-малой полуосью эллипса, (а>b), c-полуфокусным расстоянием. Величину просто пояснить геометрически.

При а=b получаем из канонического уравнения эллипса --уравнение окружности. Для окружности , т.е. F1=F2=0. .

Таким образом, окружность-это частный случай эллипса, когда фокусы его совпадают с центром и эксцентриситет=0. Чем больше эксцентриситет, тем больше вытянут эллипс.

Замечание. Из канонического уравнения эллипса легко заключить, что эллипс можно задать в параметрической форме. x=a cos t

y=b sin t, где a, b –большая и малая полуоси, t-угол.

5. Определение и вывод канонического уравнения гиперболы.

Гиперболой называется ГМТ плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек F1F2 плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина (не равная 0 и меньшая, чем фокусное расстояние F1F2).

Будем обозначать, по-прежнему, F1F2=2с, а разность расстояний-2а (а<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Пусть М (х,у)-текущая точка гиперболы. По определению МF1-MF2= или r 1 -r 2 = = или --(1). –это и есть уравнение гиперболы.

Избавляемся от иррациональности в (1): уединим один корень, возведем обе части в квадрат, получим: или , снова возведем в квадрат:

Откуда .

Разделим на . Введем обозначение . Тогда --(2). Уравнение (2), как можно показать, равносильно уравнению (1), а потому есть уравнение данной гиперболы. Его называют каноническим уравнением гиперболы. Видим, что уравнение гиперболы тоже второй степени, значит, гипербола-линия второго порядка .

Эксцентриситет гиперболы . Выражение фокальных радиусов через легко получить из предыдущего , тогда находим из .

6. Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению.

Рассуждаем аналогично тому, как при исследовании эллипса.

1. Находим точки пересечения с осями гиперболы. Если х=0, то . Точек пересечения с осью ОУ нет. Если у=0, то . Точки пересечения , . Они называются вершинами гиперболы.

2. Область расположения гиперболы: , т.е. или . Значит, гипербола расположена вне полосы, ограниченной прямыми x=-a и х=а .

3. Гипербола обладает всеми видами симметрии, т.к. х и у входят в четных степенях. Поэтому достаточно рассмотреть ту часть гиперболы, которая расположена в первой четверти.

4. Из уравнения гиперболы (2) в первой четверти имеем . При х=а, у=0 имеем точку ; при , т.е. кривая уходит вправо вверх. Чтобы ход представить яснее, рассмотрим две вспомогательные прямые, проходящие через начало координат и являющиеся диагоналями прямоугольника со сторонами 2а и 2b: BCB’C’. Они имеют уравнения и . Докажем, что текущая точка гиперболы М(х,у) уходя в бесконечность неограниченно приближается к прямой . Возьмем произвольную точку х и сравним соответствующие ординаты точки гиперболы и --прямой. Очевидно, что У>у . MN=Y-y= .

Видим, что при , т.е. кривая неограниченно приближается к прямой по мере удаления от начала координат. Это доказывает, что прямая является асимптотой гиперболы. Причем гипербола не пересекает асимптоту. Этого достаточно, чтобы построить часть гиперболы. Она обращена выпуклостью вверх. Остальные части достраиваются по симметрии. Заметим, что оси симметрии гиперболы (оси координат) называются ее осями , точка пересечения осей-центром гиперболы. Одна ось пересекает гиперболу (действительная ось), другая-нет (мнимая). Отрезок а называют действительной полуосью, отрезок b -мнимой полуосью. Прямоугольник BCB’C’-называется основным прямоугольником гиперболы.

Если а=b , то асимптоты образуют с осями координат углы по . Тогда гиперболу или называют равносторонней или равнобочной. Основной прямоугольник превращается в квадрат. Асимптоты ее перпендикулярны друг другу.

Замечание.

Иногда рассматривают гиперболу, каноническое уравнение которой --(3). Ее называют сопряженной по отношению к гиперболе (2). Гипербола (3) имеет действительную ось вертикальную, мнимую-горизонтальную. Ее вид сразу устанавливается, если переставить х и у , а и b (она превращается в прежнюю). Но тогда гипербола (3) имеет вид:

Вершины ее .

5.Как уже указывалось, уравнение равносторонней гиперболы (а=b) , когда оси координат совпадают с осями гиперболы, имеет вид . (4)

Т.к. асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны, то их тоже можно взять за оси координат ОХ 1 и ОУ 1 . Это равносильно повороту прежней системы ОХУ на угол . Формулы поворота на угол следующие:

Тогда в новой системе координат ОХ 1 У 1 уравнение (4) перепишется:

Или или . Обозначая , получим или (5)-это уравнение равносторонней гиперболы , отнесенной к асимптотам (именно этот вид гиперболы рассматривался в школе).

Замечание : Из уравнения следует, что площадь любого прямоугольника, построенного на координатах любой точки гиперболы М(х,у) одна и та же: S=k 2 .

7. Определение и вывод канонического уравнение параболы.

Параболой называется ГМТ плоскости, для каждой из которых расстояние от фиксированной точки Fплоскости, называемой фокусом , равно расстоянию от фиксированной прямой, называемой директрисой (фокус вне директрисы).

Будем обозначать расстояние от Fдо директрисы через р и называть параметром параболы. Выберем следующим образом систему координат: ось ОХ проведем через точку Fперпендикулярно директрисе NP. Начало координат выберем в середине отрезкаFP.

В этой системе: .

Возьмем произвольную точку М(х,у) с текущими координатами (х,у). Поэтому

Отсюда (1)-это и есть уравнение параболы. Упростим:

Или (2)-это и есть каноническое уравнение параболы. Можно показать, что (1) и (2) равносильны.

Уравнение (2) есть уравнение 2-го порядка, т.е. парабола-линия 2-го порядка.

8. Исследование формы параболы по ее каноническому уравнению.

(р>0).

1) х=0, у=0 парабола проходит через начало координат точку О. Ее называют вершиной параболы.

2) , т.е. парабола располагается правее оси ОУ, в правой полуплоскости.

3) у входит в четной степени, потому парабола симметрична относительно оси ОХ, следовательно, достаточно построить в первой четверти.

4) в 1 четверти при , т.е. парабола идет вверх вправо. Можно показать, что выпуклостью-вверх. По симметрии строим внизу. Ось ОУ-касательная к параболе.

Очевидно, фокальный радиус-- . Отношение называется эксцентриситетом : . Ось симметрии параболы (у нас ОХ) называется осью параболы.

Заметим, что уравнение тоже есть парабола, но направленная в противоположную сторону. Уравнения тоже задают параболы, осью которых является ось ОУ.

или в более привычном виде , где .

Уравнение определяет обычную параболу со смещенной вершиной .

Замечания. 1) Между всеми четырьмя линиями 2-го порядка существует близкое родство-все они являются коническими сечениями . Если взять конус из двух полостей, то при сечении плоскостью перпендикулярной оси конуса получим окружность, если чуть наклонить плоскость сечения получим эллипс; если плоскость параллельна образующей, то в сечении-парабола, если плоскость пересекает обе

полости-гипербола.

2) Можно доказать, что если луч света исходя из фокуса параболы, отражается от нее, то отраженный луч идет параллельно оси параболы-это используется при действии прожекторов-параболический отражатель, а в фокусе-источник света. Получается направленный поток света.

3) Если представить запуск спутника Земли из точки Т, лежащей за пределами атмосферы в горизонтальном направлении, то если начальная скорость v 0 недостаточна, то спутник вращаться вокруг Земли не будет. При достижении 1-ой космической скорости спутник будет вращаться вокруг Земли по круговой орбите с центром в центре Земли. Если начальную скорость увеличить, то вращение будет происходить по эллипсу, центр Земли будет в одном из фокусов. При достижении 2-ой космической скорости траектория станет параболической и спутник не вернется в точку Т, но будет находиться в пределах Солнечной системы. Т.е. парабола есть эллипс с одним бесконечно удаленным фокусом. При дальнейшем увеличении начальной скорости траектория станет гиперболической и второй фокус появиться с другой стороны. Центр Земли будет все время находиться в фокусе орбиты. Спутник уйдет за пределы Солнечной системы.

Введение

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости -- по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Эллипс и его уравнение

Определение 1. Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Фокусы эллипса обозначаются буквами и, расстояние между фокусами - через, а сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов - через. Причем 2a > 2c.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

где связаны между собой равенством a 2 + b 2 = c 2 (или b 2 - a 2 = c 2).

Величина называется большой осью, а - малой осью эллипса.

Определение 2. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси.

Обозначается буквой.

Так как по определению 2a>2c, то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, т.е. .

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

где A, B, C, D, E, F - числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

где a и b (a > b ) - длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a , О ) и (- a , О ), а ось ординат - в точках (b , О ) и (- b , О ). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат - малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность - частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a /b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия - эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось - это a = 5 , меньшая полуось - это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

называются фокусами .

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b /a характеризует "сплюснутость" эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

Если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

Если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат - каноническое уравнение эллипса:

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c , нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c , определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если - произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и - расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний - следующие:

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a .

Прямые, определяемые уравнениями

называются директрисами эллипса (на чертеже - красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

,

где и - расстояния этой точки до директрис и .

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .