Комплексные логарифмы. Определение и свойства Основное свойство логарифмов и его следствия

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида f(x) = logax, определённая при

Область определения: . Область значений: . Функция является строго возрастающей при a > 1 и строго убывающей при 0 < a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Прямая x = 0 является левой вертикальной асимптотой, поскольку при a > 1 и при 0 < a < 1.

Производная логарифмической функции равна:

Логарифмическая функция осуществляет изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел.

Комплексный логарифм

Определение и свойства

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначим и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что ez = w. Комплексный логарифм существует для любого, и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:

то логарифм находится по формуле:

Здесь -- вещественный логарифм, r = | w | , k -- произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0, называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента в интервале (? р,р]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается. Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.

Из формулы следует:

Вещественная часть логарифма определяется по формуле:

Логарифм отрицательного числа находится по формуле.

Приведены основные свойства логарифма, график логарифма, область определения, множество значений, основные формулы, возрастание и убывание. Рассмотрено нахождение производной логарифма. А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Содержание

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.


Область определения	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Область значений	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	x = 1	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	нет	нет
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом :

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.
Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.

Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b , имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .

Если , то

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e .
;
.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям : .
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ :
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или

Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

См. также:

План:

1 Вещественный логарифм
- 1.1 Свойства
- 1.2 Логарифмическая функция
- 1.3 Натуральные логарифмы
- 1.4 Десятичные логарифмы
2 Комплексный логарифм
- 2.1 Определение и свойства
- 2.2 Примеры
- 2.3 Аналитическое продолжение
- 2.4 Риманова поверхность
3 Исторический очерк
- 3.1 Вещественный логарифм
- 3.2 Комплексный логарифм
4 Логарифмические таблицы
5 Приложения

Введение

Рис. 1. Графики логарифмических функций

Логари́фм числа b по основанию a (от греч. λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число» ) определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a , чтобы получить число b . Обозначение: . Из определения следует, что записи и равносильны.

Например, , потому что .

1. Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа log a b имеет смысл при . Как известно, показательная функция y = a x монотонна и каждое значение принимает только один раз, причём диапазон её значений содержит все положительные вещественные числа. Отсюда следует, что значение вещественного логарифма положительного числа вcегда существует и определено однозначно.

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

1.1. Свойства

Доказательство

Докажем, что .

(так как по условию bc > 0). ■

Доказательство

Докажем, что

(так как по условию ■

Доказательство

Используем для доказательства тождество . Логарифмируем обе части тождества по основанию c. Получаем:

Доказательство

Докажем, что .

(так как b p > 0 по условию). ■

Доказательство

Докажем, что

Доказательство

Логарифмируем левую и правую части по основанию c :

Левая часть: Правая часть:

Равенство выражений очевидно. Т. к. логарифмы равны, то в силу монотонности логарифмической функции равны и сами выражения. ■

1.2. Логарифмическая функция

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию y = log a x (см. рис. 1). Она определена при . Область значений: .

Функция является строго возрастающей при a > 1 и строго убывающей при 0 < a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Прямая x = 0 является левой вертикальной асимптотой, поскольку при a > 1 и при 0 < a < 1 .

Производная логарифмической функции равна:

Доказательство

I. Докажем, что

Запишем тождество e lnx = x и продифференцируем его левую и правую части

Получаем, что , откуда следует, что

II. Докажем, что

1.3. Натуральные логарифмы

Связь с десятичным логарифмом: .

Как указано выше, для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

Неопределенный интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:

Разложение в ряд Тейлора может быть представлено следующим образом:
при справедливо равенство

(1)

В частности,

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.

1.4. Десятичные логарифмы

Рис. 2а. Логарифмическая шкала

Рис. 2б. Логарифмическая шкала с обозначениями

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a ) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала используется во многих областях науки, например:

Физика - интенсивность звука (децибелы).
Астрономия - шкала яркости звёзд.
Химия - активность водородных ионов (pH).
Сейсмология - шкала Рихтера.
Теория музыки - нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
История - логарифмическая шкала времени.

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

2. Комплексный логарифм

2.1. Определение и свойства

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначим и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что e z = w . Комплексный логарифм существует для любого , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:

то логарифм находится по формуле:

Здесь - вещественный логарифм, r = | w | , k - произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0 , называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента в интервале (− π,π] . Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.

Из формулы следует:

Вещественная часть логарифма определяется по формуле:

Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой (формула Эйлера), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями. Пример такой связи:

2.2. Примеры

Приведём главное значение логарифма для некоторых аргументов:

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

i π = ln(− 1) = ln((− i ) 2) = 2ln(− i ) = 2(− i π / 2) = − i π - явная нелепость.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа - значение из нижележащей ветви (k = − 1 ). Причина ошибки - неосторожное использования свойства , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

2.3. Аналитическое продолжение

Рис. 3. Комплексный логарифм (мнимая часть)

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Пусть кривая Γ начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке w кривой Γ можно определить по формуле:

Если Γ - простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например

Если разрешить кривой Γ пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма

Для любой окружности S , охватывающей точку 0 :

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью вышеприведенного ряда (1), обобщённого на случай комплексного аргумента. Однако из вида разложения следует, что в единице он равен нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма.

2.4. Риманова поверхность

Комплексная логарифмическая функция - пример римановой поверхности; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность односвязна; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1 , особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0 .

3. Исторический очерк

3.1. Вещественный логарифм

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n . Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra » Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов » (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1". Термин логарифм , предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов » (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), изданной посмертно в 1619 году его сыном.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом :

Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.

В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M , где M - масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом следующим образом:

Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса» есть нуль - этого и добивался Непер своим определением. .

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1) .

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера. Уже спустя 5 лет, в 1619 г., лондонский учитель математики Джон Спайделл (John Speidell ) переиздал таблицы Непера, преобразованные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов (хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил). Термин «натуральный логарифм» предложил итальянский математик Пьетро Менголи (Pietro Mengoli )) в середине XVI века .

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов - незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования - как операции, обратной возведению в степень - впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

3.2. Комплексный логарифм

Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.

4. Логарифмические таблицы

Логарифмические таблицы

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам выполнить потенцирование, то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.

При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n . Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3 . Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже - с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.

Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.

Таблицы Брадиса (1921) использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.

Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М., 1971.

Профессиональный сборник для точных вычислений.

Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М.: Наука, 1972.
Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.

В настоящее время с распространением калькуляторов необходимость в использовании таблиц логарифмов отпала.

М, Особенность (комплексный анализ) .

Доказательство формулы .

= =

так как синус и косинус не зависят от прибавления угла, кратного

А это равенство уже очевидно, так как это и есть тригонометрическая форма комплексного числа.

Таким образом, логарифм существует для всех точек в плоскости, за исключением нуля. Для действительного положительного числа, аргумент равен 0, поэтому это бесконечное множество точек имеет вид , то есть одно из значений, а именно, при , попадёт на действительную ось. Если вычислять логарифм отрицательного числа, то получим , то есть набор точек сдвинут вверх и ни одна из них не попадает на действительную ось.

Из формулы видно, что только при нулевом аргументе исходного числа одно из значений логарифма попадает на действительную ось. А это соответствует правой полуоси, и именно поэтому в курсе школьной математики рассматривали только логарифмы положительных чисел. Логарифмы отрицательных и мнимых чисел также существуют, но у них нет ни одного значения на действительной оси.

На следующем чертеже показано, где в плоскости расположены все значения логарифма положительного числа. Одно из них на действительной оси, остальные выше и ниже на , , и так далее. Для отрицательного или комплексного числа, аргумент отличен от нуля, поэтому происходит сдвиг этой последовательности точек по вертикали, в результате чего на действительной оси не будет ни одной точки.

Пример. Вычислить .

Решение. Определим модуль числа (равен 2) и аргумент 180 0 , то есть . Тогда = .

Приложение 1. Вопросы на доказательства (для билетов).

Лекция № 1

1. Докажите формулу интегрирования по частям.

Лекция № 2

1. Доказать, что замена , где r = НОК (r 1 ,...,r k) сводит интеграл к интегралу от рациональной дроби.

2. Доказать, что замена замена сводит интеграл вида к интегралу от рациональной дроби.

3. Вывести формулы преобразования синуса и косинуса

Для универсальной тригонометрической замены .

4. Доказать, что в случае, когда функция нечётна относительно косинуса, замена сводит интеграл к рациональной дроби.

5. Доказать, что в случае, когда

замена: сводит интеграл к рациональной дроби.

6. Доказать, что для интеграла вида

7. Доказать формулу

8. Доказать, что для интеграла вида замена своит интеграл к рациональной дроби.

9. Доказать, что для интеграла вида замена сводит интеграл к рациональной дроби.

Лекция № 3

1. Доказать, что функция является первообразной от функции .

2. Доказать формулу Ньютона- Лейбница: .

3. Доказать формулу длины явно заданной кривой:

4. Доказать формулу длины кривой, заданной в полярных координатах

Лекция № 4

Докажите теорему: сходится , сходится .

Лекция № 5

1. Вывести (доказать) формулу площади явно заданной поверхности .

2. Вывод формул перехода к полярным координатам .

3. Вывод определителя Якоби полярных координат .

4. Вывод формул перехода к цилиндрическим координатам .

5. Вывод определителя Якоби цилиндрических координат .

6. Вывод формул перехода к сферическим координатам:

Лекция № 6

1. Доказать, что замена сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

2. Вывести общий вид решения линейного однородного уравнения.

3. Вывести общий вид решения линейного неоднородного уравнения методом Лагранжа.

4. Доказать, что замена сводит уравнение Бернулли к линейному уравнению.

Лекция № 7.

1. Доказать, что замена понижает на k порядок уравнения .

2. Доказать, что замена понижает на единицу порядок уравнения .

3. Доказать теорему: Функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения есть характеристический корень.

4. Доказать теорему о том, что линейная комбинация решений линейного однородного дифф. уравнения тоже есть его решение.

5. Доказать теорему о наложении решений: Если - решение линейного неоднородного дифф.уравнения с правой частью , а - решение такого же дифф.уравнения, но с правой частью , то сумма является решением уравнения с правой частью .

Лекция № 8.

1. Доказать теорему о том, что система функций линейно-зависима .

2. Доказать теорему о том, что существует n линейно-независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n.

3. Доказать, что если 0 является корнем кратности , то система решений, соответствующих этому корню, имеет вид .

Лекция № 9.

1. Доказать с помощью показательной формы, что при умножении комплексных чисел модули умножаются, а аргументы складываются.

2. Доказать формулу Муавра для степени n

3. Доказать формулу корня порядка n комплексного числа

4. Доказать, что и

являются обобщениями синуса и косинуса, т.е. для действительных чисел по этим формулам получится синус (косинус).

5. Доказать формулу логарифма комплексного числа:

Приложение 2.

Мелкие и устные вопросы на знание теории (для коллоквиумов).

Лекция № 1

1. Что такое первообразная и неопределённый интеграл, чем они отличаются?

2. Объяснить, почему тоже является первообразной.

3. Напишите формулу интегрирования по частям.

4. Какая замена требуется в интеграле вида и каким образом она устраняет корни?

5. Запишите вид разложения подынтегральной рациональной дроби на простейшие в случае, когда все корни различны и действительны.

6. Запишите вид разложения подынтегральной рациональной дроби на простейшие в случае, когда все корни действительны, и есть один кратный корень кратности k.

Лекция № 2.

1. Напишите, какое разложение рациональной дроби на простейшие в случае, когда в знаменателе есть множитель 2 степени с отрицательным дискриминантом.

2. Какая замена сводит интеграл к рациональной дроби?

3. Что такие универсальная тригонометрическая подстановка?

4. Какие замены производятся в случаях, когда функция под знаком интеграла нечётна относительно синуса (косинуса) ?

5. Какие замены производятся в случае наличия в подынтегральной функции выражений , , или .

Лекция № 3.

1. Определение определённого интеграла.

2. Перечислите некоторые из основных свойств определённого интеграла.

3. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

4. Напишите формулу объёма тела вращения.

5. Напишите формулу длины явно заданной кривой.

6. Напишите формулу длины параметрически заданной кривой.

Лекция № 4.

1. Определение несобственного интеграла (с помощью предела).

2. Чем отличаются несобственные интегралы 1 и 2 рода.

3. Приведите простые примеры сходящихся интегралов 1 и 2 рода.

4. При каких сходятся интегралы (Т1).

5. Как сходимость связана с конечным пределом первообразной (Т2)

6. Что такое необходимый признак сходимости, его формулировка.

7. Признак сравнения в конечной форме

8. Признак сравнения в предельной форме.

9. Определение кратного интеграла.

Лекция № 5.

1. Смена порядка интегрирования, показать на простейшем примере.

2. Напишите формулу площади поверхности.

3. Что такое полярные координаты, напишите формулы перехода.

4. Чему равен якобиан полярной системы координат?

5. Что такое цилиндрические и сферические координаты, в чём их отличие.

6. Чему равен якобиан цилиндрических (сферических) координат.

Лекция № 6.

1. Что такое дифференциальное уравнение 1 порядка (общий вид).

2. Что такое дифференциальное уравнение 1 порядка, разрешённое относительно производной. Приведите какой-нибудь пример.

3. Что такое уравнение с разделяющимися переменными.

4. Что такое общее, частное решение, условия Коши.

5. Что такое однородное уравнение, каков общий метод его решения.

6. Что такое линейное уравнение, в чём состоит алгоритм его решения, что такое метод Лагранжа.

7. Что такое уравнение Бернулли, алгоритм его решения.

Лекция № 7.

1. Какая замена необходима для уравнения вида .

2. Какая замена необходима для уравнения вида .

3. Покажите на примерах, как можно выразить в виде .

4. Что такое линейное дифференциальное уравнение порядка n.

5. Что такое характеристический многочлен, характеристическое уравнение.

6. Сформулировать теорему о том, при каком r функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения.

7. Сформулировать теорему о том, что линейная комбинация решений линейного однородного уравнения тоже есть его решение.

8. Сформулировать теорему о наложении решений и следствия из неё.

9. Что такое линейно-зависимая и линейно-независимая системы функций, привести какие-нибудь примеры.

10. Что такое определитель Вронского системы из n функций, приведите пример определителя Вронского для ЛЗС и ЛНС систем.

Лекция № 8.

1. Каким свойством обладает определитель Вронского, если система функция линейно-завимима.

2. Сколько существует линейно-независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n.

3. Определение ФСР (фундаментальной системы решений) линейного однородного уравнения порядка n.

4. Сколько функций содержится в ФСР?

5. Запишите вид системы уравнений для нахождения методом Лагранжа при n=2.

6. Запишите вид частного решения в случае, когда

7. Что такое линейная система дифференциальных уравнений, напишите какой-нибудь пример.

8. Что такое автономная система дифференциальных уравнений.

9. Физический смысл системы дифференциальных уравнений.

10. Запишите, из каких функций состоит ФСР системы уравнений, если известны собственные числа и собственные векторы основной матрицы этой системы.

Лекция № 9.

1. Что такое мнимая единица.

2. Что такое сопряжённое число и что получится при его умножении на исходное.

3. Что такое тригонометрическая, показательная форма комплексного числа.

4. Напишите формулу Эйлера.

5. Что такое модуль, аргумент комплексного числа.

6. что происходит с модулями и аргументами при умножении (делении).

7. Напишите формулу Муавра для степени n.

8. Напишите формулу корня порядка n.

9. Напишите формулы обобщённых синуса и косинуса для комплексного аргумента.

10. Напишите формулу логарифма комплексного числа.

Приложение 3. Задачи из лекций.

Лекция № 1

Пример. . Пример. .

Пример. Пример. .

Пример. . Пример. .

Лекция № 2

Пример. . Пример. .

Пример. . Пример. . , где, число .

Пример. Поделить в показательной форме.

Пример . Найти по формуле Муавра.

Пример . Найдите все значения корня .

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Определение и свойства

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое $z$ можно представить в показательной форме:

$z=r \cdot e^{i (\varphi + 2 \pi k)}\;\;,$ где $k$ - произвольное целое число

Тогда $\mathrm{Ln}\,z$ находится по формуле :

$\mathrm{Ln}\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)$

Здесь $\ln\,r= \ln\,|z|$ - вещественный логарифм. Отсюда вытекает:

\mathrm{Ln} (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots)

Примеры значений комплексного логарифма

Приведём главное значение логарифма ( $\ln$ ) и общее его выражение ( $\mathrm{Ln}$ ) для некоторых аргументов:

$\ln (1) = 0;\; \mathrm{Ln} (1) = 2k\pi i$ $\ln (-1) = i \pi;\; \mathrm{Ln} (-1) = (2k+1)i \pi$ $\ln (i) = i \frac{\pi} {2};\; \mathrm{Ln} (i) = i \frac{4k+1}{2} \pi$

$i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi$ - явная ошибка.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа - значение из нижележащей ветви ( $k=-1$ ). Причина ошибки - неосторожное использование свойства $\log_a{(b^p)} = p~\log_a b$ , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность

В силу односвязности риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки $0$ .

Аналитическое продолжение

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость . Пусть кривая $\Gamma$ начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке $w$ кривой $\Gamma$ можно определить по формуле :

$\ln z = \int\limits_\Gamma {du \over u}$

Если $\Gamma$ - простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например:

$\ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma$

Главная ветвь логарифмической функции непрерывна и дифференцируема на всей комплексной плоскости , кроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется на $2\pi$ . Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом $(-\pi, \pi]$ . Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой $\Gamma$ пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма :

$\frac{d}{dz} \ln z = {1\over z}$

Для любой окружности $S$ , охватывающей точку $0$ :

$\oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i$

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью рядов, известных для вещественного случая:

{{{2}}}

(Ряд 1)

{{{2}}}

(Ряд 2)

Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1.

Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями

\operatorname{Arcsin} z = -i \operatorname{Ln} (i z + \sqrt{1-z^2})

\operatorname{Arccos} z = -i \operatorname{Ln} (z + i\sqrt{1-z^2})

\operatorname{Arctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{1+z i}{1-z i} + k \pi \; (z \ne \pm i)

\operatorname{Arcctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{z i-1}{z i+1} + k \pi \; (z \ne \pm i)

\operatorname{Arsh}z = \operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2+1})

- обратный гиперболический синус

\operatorname{Arch}z=\operatorname{Ln} \left(z+\sqrt{z^{2}-1} \right)

- обратный гиперболический косинус

\operatorname{Arth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)

- обратный гиперболический тангенс

\operatorname{Arcth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)

- обратный гиперболический котангенс

Исторический очерк

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли , однако создать целостную теорию им не удалось - в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма . Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века - между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить $\log(-x) = \log(x)$ , в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747-1751 годах и по существу ничем не отличается от современной . Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

Напишите отзыв о статье "Комплексный логарифм"

Литература

Теория логарифмов

Корн Г., Корн Т. . - М .: Наука, 1973. - 720 с.
Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. - М .: Наука, 1967. - 304 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - изд. 6-е. - М .: Наука, 1966. - 680 с.

История логарифмов

Математика XVIII столетия // / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. - М .: Наука, 1972. - Т. III.
Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. - М .: Наука, 1981. - Т. II.

Примечания

Логарифмическая функция. // . - М .: Советская Энциклопедия , 1982. - Т. 3.
, Том II, стр. 520-522..
, с. 623..
, с. 92-94..
, с. 45-46, 99-100..
Болтянский В. Г. , Ефремович В. А. . - М .: Наука, 1982. - С. 112. - (Библиотечка Квант, выпуск 21).
, Том II, стр. 522-526..
, с. 624..
, с. 325-328..
Рыбников К. А. История математики. В двух томах. - М .: Изд. МГУ, 1963. - Т. II. - С. 27, 230-231..
, с. 122-123..
Клейн Ф. . - М .: Наука, 1987. - Т. II. Геометрия. - С. 159-161. - 416 с.

Отрывок, характеризующий Комплексный логарифм

Видно было, что этот сильный, странный мужчина находился под неотразимым влиянием, производимым на него этой черненькой, грациозной, любящей другого девочкой.
Ростов замечал что то новое между Долоховым и Соней; но он не определял себе, какие это были новые отношения. «Они там все влюблены в кого то», думал он про Соню и Наташу. Но ему было не так, как прежде, ловко с Соней и Долоховым, и он реже стал бывать дома.
С осени 1806 года опять всё заговорило о войне с Наполеоном еще с большим жаром, чем в прошлом году. Назначен был не только набор рекрут, но и еще 9 ти ратников с тысячи. Повсюду проклинали анафемой Бонапартия, и в Москве только и толков было, что о предстоящей войне. Для семейства Ростовых весь интерес этих приготовлений к войне заключался только в том, что Николушка ни за что не соглашался оставаться в Москве и выжидал только конца отпуска Денисова с тем, чтобы с ним вместе ехать в полк после праздников. Предстоящий отъезд не только не мешал ему веселиться, но еще поощрял его к этому. Большую часть времени он проводил вне дома, на обедах, вечерах и балах.

ХI
На третий день Рождества, Николай обедал дома, что в последнее время редко случалось с ним. Это был официально прощальный обед, так как он с Денисовым уезжал в полк после Крещенья. Обедало человек двадцать, в том числе Долохов и Денисов.
Никогда в доме Ростовых любовный воздух, атмосфера влюбленности не давали себя чувствовать с такой силой, как в эти дни праздников. «Лови минуты счастия, заставляй себя любить, влюбляйся сам! Только это одно есть настоящее на свете – остальное всё вздор. И этим одним мы здесь только и заняты», – говорила эта атмосфера. Николай, как и всегда, замучив две пары лошадей и то не успев побывать во всех местах, где ему надо было быть и куда его звали, приехал домой перед самым обедом. Как только он вошел, он заметил и почувствовал напряженность любовной атмосферы в доме, но кроме того он заметил странное замешательство, царствующее между некоторыми из членов общества. Особенно взволнованы были Соня, Долохов, старая графиня и немного Наташа. Николай понял, что что то должно было случиться до обеда между Соней и Долоховым и с свойственною ему чуткостью сердца был очень нежен и осторожен, во время обеда, в обращении с ними обоими. В этот же вечер третьего дня праздников должен был быть один из тех балов у Иогеля (танцовального учителя), которые он давал по праздникам для всех своих учеников и учениц.
– Николенька, ты поедешь к Иогелю? Пожалуйста, поезжай, – сказала ему Наташа, – он тебя особенно просил, и Василий Дмитрич (это был Денисов) едет.
– Куда я не поеду по приказанию г"афини! – сказал Денисов, шутливо поставивший себя в доме Ростовых на ногу рыцаря Наташи, – pas de chale [танец с шалью] готов танцовать.
– Коли успею! Я обещал Архаровым, у них вечер, – сказал Николай.
– А ты?… – обратился он к Долохову. И только что спросил это, заметил, что этого не надо было спрашивать.
– Да, может быть… – холодно и сердито отвечал Долохов, взглянув на Соню и, нахмурившись, точно таким взглядом, каким он на клубном обеде смотрел на Пьера, опять взглянул на Николая.
«Что нибудь есть», подумал Николай и еще более утвердился в этом предположении тем, что Долохов тотчас же после обеда уехал. Он вызвал Наташу и спросил, что такое?
– А я тебя искала, – сказала Наташа, выбежав к нему. – Я говорила, ты всё не хотел верить, – торжествующе сказала она, – он сделал предложение Соне.
Как ни мало занимался Николай Соней за это время, но что то как бы оторвалось в нем, когда он услыхал это. Долохов был приличная и в некоторых отношениях блестящая партия для бесприданной сироты Сони. С точки зрения старой графини и света нельзя было отказать ему. И потому первое чувство Николая, когда он услыхал это, было озлобление против Сони. Он приготавливался к тому, чтобы сказать: «И прекрасно, разумеется, надо забыть детские обещания и принять предложение»; но не успел он еще сказать этого…
– Можешь себе представить! она отказала, совсем отказала! – заговорила Наташа. – Она сказала, что любит другого, – прибавила она, помолчав немного.
«Да иначе и не могла поступить моя Соня!» подумал Николай.
– Сколько ее ни просила мама, она отказала, и я знаю, она не переменит, если что сказала…
– А мама просила ее! – с упреком сказал Николай.
– Да, – сказала Наташа. – Знаешь, Николенька, не сердись; но я знаю, что ты на ней не женишься. Я знаю, Бог знает отчего, я знаю верно, ты не женишься.
– Ну, этого ты никак не знаешь, – сказал Николай; – но мне надо поговорить с ней. Что за прелесть, эта Соня! – прибавил он улыбаясь.
– Это такая прелесть! Я тебе пришлю ее. – И Наташа, поцеловав брата, убежала.
Через минуту вошла Соня, испуганная, растерянная и виноватая. Николай подошел к ней и поцеловал ее руку. Это был первый раз, что они в этот приезд говорили с глазу на глаз и о своей любви.
– Sophie, – сказал он сначала робко, и потом всё смелее и смелее, – ежели вы хотите отказаться не только от блестящей, от выгодной партии; но он прекрасный, благородный человек… он мой друг…
Соня перебила его.
– Я уж отказалась, – сказала она поспешно.
– Ежели вы отказываетесь для меня, то я боюсь, что на мне…
Соня опять перебила его. Она умоляющим, испуганным взглядом посмотрела на него.
– Nicolas, не говорите мне этого, – сказала она.
– Нет, я должен. Может быть это suffisance [самонадеянность] с моей стороны, но всё лучше сказать. Ежели вы откажетесь для меня, то я должен вам сказать всю правду. Я вас люблю, я думаю, больше всех…
– Мне и довольно, – вспыхнув, сказала Соня.
– Нет, но я тысячу раз влюблялся и буду влюбляться, хотя такого чувства дружбы, доверия, любви, я ни к кому не имею, как к вам. Потом я молод. Мaman не хочет этого. Ну, просто, я ничего не обещаю. И я прошу вас подумать о предложении Долохова, – сказал он, с трудом выговаривая фамилию своего друга.
– Не говорите мне этого. Я ничего не хочу. Я люблю вас, как брата, и всегда буду любить, и больше мне ничего не надо.
– Вы ангел, я вас не стою, но я только боюсь обмануть вас. – Николай еще раз поцеловал ее руку.

У Иогеля были самые веселые балы в Москве. Это говорили матушки, глядя на своих adolescentes, [девушек,] выделывающих свои только что выученные па; это говорили и сами adolescentes и adolescents, [девушки и юноши,] танцовавшие до упаду; эти взрослые девицы и молодые люди, приезжавшие на эти балы с мыслию снизойти до них и находя в них самое лучшее веселье. В этот же год на этих балах сделалось два брака. Две хорошенькие княжны Горчаковы нашли женихов и вышли замуж, и тем еще более пустили в славу эти балы. Особенного на этих балах было то, что не было хозяина и хозяйки: был, как пух летающий, по правилам искусства расшаркивающийся, добродушный Иогель, который принимал билетики за уроки от всех своих гостей; было то, что на эти балы еще езжали только те, кто хотел танцовать и веселиться, как хотят этого 13 ти и 14 ти летние девочки, в первый раз надевающие длинные платья. Все, за редкими исключениями, были или казались хорошенькими: так восторженно они все улыбались и так разгорались их глазки. Иногда танцовывали даже pas de chale лучшие ученицы, из которых лучшая была Наташа, отличавшаяся своею грациозностью; но на этом, последнем бале танцовали только экосезы, англезы и только что входящую в моду мазурку. Зала была взята Иогелем в дом Безухова, и бал очень удался, как говорили все. Много было хорошеньких девочек, и Ростовы барышни были из лучших. Они обе были особенно счастливы и веселы. В этот вечер Соня, гордая предложением Долохова, своим отказом и объяснением с Николаем, кружилась еще дома, не давая девушке дочесать свои косы, и теперь насквозь светилась порывистой радостью.
Наташа, не менее гордая тем, что она в первый раз была в длинном платье, на настоящем бале, была еще счастливее. Обе были в белых, кисейных платьях с розовыми лентами.
Наташа сделалась влюблена с самой той минуты, как она вошла на бал. Она не была влюблена ни в кого в особенности, но влюблена была во всех. В того, на кого она смотрела в ту минуту, как она смотрела, в того она и была влюблена.
– Ах, как хорошо! – всё говорила она, подбегая к Соне.
Николай с Денисовым ходили по залам, ласково и покровительственно оглядывая танцующих.
– Как она мила, к"асавица будет, – сказал Денисов.
– Кто?
– Г"афиня Наташа, – отвечал Денисов.
– И как она танцует, какая г"ация! – помолчав немного, опять сказал он.
– Да про кого ты говоришь?
– Про сест"у п"о твою, – сердито крикнул Денисов.
Ростов усмехнулся.
– Mon cher comte; vous etes l"un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez, – сказал маленький Иогель, подходя к Николаю. – Voyez combien de jolies demoiselles. [Любезный граф, вы один из лучших моих учеников. Вам надо танцовать. Посмотрите, сколько хорошеньких девушек!] – Он с тою же просьбой обратился и к Денисову, тоже своему бывшему ученику.
– Non, mon cher, je fe"ai tapisse"ie, [Нет, мой милый, я посижу у стенки,] – сказал Денисов. – Разве вы не помните, как дурно я пользовался вашими уроками?
– О нет! – поспешно утешая его, сказал Иогель. – Вы только невнимательны были, а вы имели способности, да, вы имели способности.
Заиграли вновь вводившуюся мазурку; Николай не мог отказать Иогелю и пригласил Соню. Денисов подсел к старушкам и облокотившись на саблю, притопывая такт, что то весело рассказывал и смешил старых дам, поглядывая на танцующую молодежь. Иогель в первой паре танцовал с Наташей, своей гордостью и лучшей ученицей. Мягко, нежно перебирая своими ножками в башмачках, Иогель первым полетел по зале с робевшей, но старательно выделывающей па Наташей. Денисов не спускал с нее глаз и пристукивал саблей такт, с таким видом, который ясно говорил, что он сам не танцует только от того, что не хочет, а не от того, что не может. В середине фигуры он подозвал к себе проходившего мимо Ростова.
– Это совсем не то, – сказал он. – Разве это польская мазу"ка? А отлично танцует. – Зная, что Денисов и в Польше даже славился своим мастерством плясать польскую мазурку, Николай подбежал к Наташе:
– Поди, выбери Денисова. Вот танцует! Чудо! – сказал он.
Когда пришел опять черед Наташе, она встала и быстро перебирая своими с бантиками башмачками, робея, одна пробежала через залу к углу, где сидел Денисов. Она видела, что все смотрят на нее и ждут. Николай видел, что Денисов и Наташа улыбаясь спорили, и что Денисов отказывался, но радостно улыбался. Он подбежал.
– Пожалуйста, Василий Дмитрич, – говорила Наташа, – пойдемте, пожалуйста.
– Да, что, увольте, г"афиня, – говорил Денисов.
– Ну, полно, Вася, – сказал Николай.
– Точно кота Ваську угова"ивают, – шутя сказал Денисов.
– Целый вечер вам буду петь, – сказала Наташа.
– Волшебница всё со мной сделает! – сказал Денисов и отстегнул саблю. Он вышел из за стульев, крепко взял за руку свою даму, приподнял голову и отставил ногу, ожидая такта. Только на коне и в мазурке не видно было маленького роста Денисова, и он представлялся тем самым молодцом, каким он сам себя чувствовал. Выждав такт, он с боку, победоносно и шутливо, взглянул на свою даму, неожиданно пристукнул одной ногой и, как мячик, упруго отскочил от пола и полетел вдоль по кругу, увлекая за собой свою даму. Он не слышно летел половину залы на одной ноге, и, казалось, не видел стоявших перед ним стульев и прямо несся на них; но вдруг, прищелкнув шпорами и расставив ноги, останавливался на каблуках, стоял так секунду, с грохотом шпор стучал на одном месте ногами, быстро вертелся и, левой ногой подщелкивая правую, опять летел по кругу. Наташа угадывала то, что он намерен был сделать, и, сама не зная как, следила за ним – отдаваясь ему. То он кружил ее, то на правой, то на левой руке, то падая на колена, обводил ее вокруг себя, и опять вскакивал и пускался вперед с такой стремительностью, как будто он намерен был, не переводя духа, перебежать через все комнаты; то вдруг опять останавливался и делал опять новое и неожиданное колено. Когда он, бойко закружив даму перед ее местом, щелкнул шпорой, кланяясь перед ней, Наташа даже не присела ему. Она с недоуменьем уставила на него глаза, улыбаясь, как будто не узнавая его. – Что ж это такое? – проговорила она.
Несмотря на то, что Иогель не признавал эту мазурку настоящей, все были восхищены мастерством Денисова, беспрестанно стали выбирать его, и старики, улыбаясь, стали разговаривать про Польшу и про доброе старое время. Денисов, раскрасневшись от мазурки и отираясь платком, подсел к Наташе и весь бал не отходил от нее.