Функция распределения непрерывной случайной величины примеры. Случайной величины
Проверим,
выполняется ли требование равномерной
ограниченности дисперсии. Напишем
закон распределения
:
|
|
|
|
|
|
|
Найдём
математическое ожидание
:
Найдём
дисперсию
:
Эта функция возрастает, следовательно, чтобы вычислить константу, ограничивающую дисперсию, можно вычислить предел:
Таким образом, дисперсии заданных случайных величин неограниченны, что и требовалось доказать.
Б) Из формулировки теоремы Чебышева следует, что требование равномерной ограниченности дисперсий является достаточным, но не необходимым условием, поэтому нельзя утверждать, что к данной последовательности эту теорему применить нельзя.
Последовательность независимых случайных величин Х 1 , Х 2 , …, Х n , … задана законом распределения
D(X n)=M(X n 2)- 2 ,
учитывай, что M(X n)=0, найдем (выкладки предоставляются выполнить читателю)
Временно предположим, что n изменяется непрерывно (чтобы подчеркнуть это допущение, обозначим n через х), и исследуем на экстремум функцию φ(х)=х 2 /2 х-1 .
Приравняв первую производную этой функции к нулю, найдем критические точки х 1 =0 и х 2 =ln 2.
Отбросим первую точку как не представляющую интереса (n не принимает значения, равного нулю); легко видеть, что в точек х 2 =2/ln 2 функция φ(х) имеет максимум. Учитывая, что 2/ln 2 ≈ 2.9 и что N – целое положительное число, вычислим дисперсию D(X n)= (n 2 /2 n -1)α 2 для ближайших к числу 2.9 (слева и справа) целых чисел, т.е. для n=2 и n=3.
При n=2 дисперсия D(X 2)=2α 2 , при n=3 дисперсия D(Х 3)=9/4α 2 . Очевидно,
(9/4)α 2 > 2α 2 .
Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна (9/4)α 2 , т.е. дисперсии случайных величин Хn равномерно ограничены числом (9/4)α 2 .
Последовательность независимых случайных величин X 1 , X 2 , …, X n , … задана законом распределения
Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?
Замечание. Поскольку случайные величины Х, одинаково распределены и независимы, то читатель, знакомый с теоремой Хинчина, может ограничиться вычислением лишь математического ожидания и убедиться, что оно кончено.
Поскольку случайные величины Х n независимы, то они подавно и попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.
Легко найти, что M(X n)=0, т.е.первое требование конечности математических ожиданий выполняется.
Остается проверить выполнимость требования равномерной ограниченности дисперсий. По формуле
D(X n)=M(X n 2)- 2 ,
учитывай, что M(X n)=0, найдем
Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна 2, т.е. дисперсии случайных величин Х n равномерно ограничены числом 2.
Итак, все требования теоремы Чебышева выполняются, следовательно, к рассматриваемой последовательности эта теорема применима.
Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3).
Случайная
величина Х задана на всей оси Ох функцией
распределена F(x)=1/2+(arctg
x)/π. Найти
вероятность того, что в результате
испытания величина Х примет значение,
заключенное в интервале (0, 1). Вероятность
того, что Х примет значение, заключенное
в интервале (a, b),
равна приращению функции распределения
на этом интервале: P(a Р(0<
Х <1) = F(1)-F(0)
= x =1 -
x =0
= 1/4 Случайная
величина Х функцией распределения Найти
вероятность того, что в результате
испытания величина Х примет значение,
заключенное в интервале (-1, 1). Вероятность
того, что Х примет значение, заключенное
в интервале (a, b),
равна приращению функции распределения
на этом интервале: P(a Р(-1<
Х <1) = F(1)-F(-1)
= x =-1
– x =1
= 1/3. Функция
распределения непрерывной случайной
величины Х (времени безотказной работы
некоторого устройства) равна
F(х)=1-е -х/ T (х≥0).
Найти вероятность безотказной работы
устройства за время х≥Т. Вероятность
того, что Х примет значение, заключенное
в интервале x≥T,
равна приращению функции распределения
на этом интервале: P(0 P(x≥T)
= 1 - P(T Случайная
величина Х задана функцией распределения Найти
вероятность того, что в результате
испытания Х примет значение: а) меньшее
0.2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех;
г) не меньшее пяти. а)
Так как при х≤2 функция F(х)=0,
то F(0, 2)=0, т.е. P(х
< 0, 2)=0; б)
Р(Х < 3) = F(3) = x =3
= 1.5-1 = 0.5; в)
события Х≥3 и Х<3 противоположны,
поэтому Р(Х≥3)+Р(Х<3)=1. Отсюда, учитывая,
что Р(Х<3)=0.5 [см. п. б.], получим Р(Х≥3) =
1-0.5 = 0.5; г)
сумма вероятностей противоположных
событий равна единице, поэтому
Р(Х≥5)+Р(Х<5)=1. Отсюда, используя условие,
в силу которого при х>4 функция F(x)=1,
получим Р(Х≥5) = 1-Р(Х<5) = 1-F(5)
= 1-1 = 0. Случайная
величина Х задана функцией распределния Найти
вероятность того, что в результате
четырех независимых испытаний величина
Х ровно три раза примет значение,
принадлежащее интервалу (0.25, 0.75). Вероятность
того, что Х примет значение, заключенное
в интервале (a, b),
равна приращению функции распределения
на этом интервале: P(a P(0.25< X <0.75) =
F(0.75)-F(0.25) =
0.5 Следовательно,
,
или
Случайная
величина X задана на всей
оси Ox функцией распределения
.
Найти возможное значения
,
удовлетворяющее условию: с вероятностью
случайная
X в результате испытания
примет значение большее
Решение.
События
и
- противоложные, поэтому
.
Следовательно,
.
Так как
,
то
. По
определению функции распределения,
. Следовательно,
,
или
Дискретная
случайная величина X задана
законом распределения Итак,
искомая функция распределения имеет
вид Дискретная
случайная величина X
задана законом распределения Найти
функцию распределения
и
начертить ее график. Дана
функция распределения непрерывной
случайной величины X Найти
плотность распределения f(x). Плотность
распределения равна первой производной
от функции распределения: Непрерывная
случайная величина X
задана плотностью распределения
в
интервале
;
вне этого интервала
.
Найти вероятность того, что X
примет значение, принадлежащее интервалу
. Воспользуемся
формулой
.
По условию
,и
.
Следовательно, искомая вероятность Непрерывная
случайная величина X
задана плотностью распределения
Воспользуемся
формулой
.
По условию
,и
Плотность
распределения непрерывной случайной
величины Х в интервале (-π/2,
π/2) равна f(x)=(2/π)*cos2x
; вне этого интервала f(x)=0.
Найти вероятность того, что в трех
независимых испытаниях Х примет ровно
два раза значение, заключенное в интервале
(0, π/4). Воспользуемся
формулой Р(a Р(0 Ответ:
π+24π. fx=0,
при x≤0cosx,
при 0 Используем
формулу Если
х ≤0, то f(x)=0,
следовательно, F(x)=-∞00dx=0. Если
0 F(x)=-∞00dx+0xcosxdx=sinx. Если
x≥ π2 , то F(x)=-∞00dx+0π2cosxdx+π2x0dx=sinx|0π2=1. Итак,
искомая функция распределения Fx=0,
при x≤0sinx,
при 0 Задана
плотность распределения непрерывной
случайной величины Х: Fx=0,
при x≤0sinx,
при 0 Найти
функцию распределения F(x). Используем
формулу Плотность
распределения непрерывной случайной
величины Х задана на всей оси Ох равеством
.
Найти постоянный параметр С. Таким образом, Плотность
распределения непрерывной случайной
величины
задана
на всей оси
равенством
Найти
постоянный параметр С. Решение.
Плотность распределения
должна удовлетворять условию
.
Потребуем, чтобы это условие выполнялось
для заданной функции: Найдем
сначала неопределенный интеграл: Затем вычислим несобственный интеграл: Таким образом, Подставив
(**) в (*), окончательно получим
. Плотность
распределения непрерывной
случайной величины X в
интервале
равна
;
вне этого интервала f(х) = 0. Найти постоянный
параметр С. Найдем
сначала неопределенный интеграл: Затем вычислим несобственный интеграл: Подставив
(**) в (*), окончательно получим
. Плотность
распределения непрерывной случайной
величины Х задана в интервале
равенством
;
вне этого интервала f(х) = 0. Найти
постоянный параметр С. Решение.
Плотность распределения
должна удовлетворять условию
,
но так как f(x)
вне интервала
равна
0 достаточно, чтобы она удовлетворяла:
Найдем
сначала неопределенный интеграл: Затем вычислим несобственный интеграл: Подставив
(**) в (*), окончательно получим
. Случайная
величина X задана плотностью
распределения ƒ(x) = 2x
в интервале (0,1); вне этого интервала
ƒ(x) = 0. Найти математическое
ожидание величины X. Р Подставив
a = 0, b = 1,
ƒ(x) = 2x,
получим Ответ:
2/3. Случайная
величина X задана плотностью
распределения ƒ(x) = (1/2)x
в интервале (0;2); вне этого интервала
ƒ(x) = 0. Найти математическое
ожидание величины X. Р Подставив
a = 0, b = 2,
ƒ(x) = (1/2)x,
получим М
(Х) =
Ответ:
4/3. Случайная
величина X в интервале (–с, с) задана плотностью распределения ƒ Р Подставив
a = –с, b = c,
ƒ(x) = , получим Учитывая,
что подынтегральная функция нечетная
и пределы интегрирования симметричны
относительно начала координат, заключаем,
что интеграл равен нулю. Следовательно,
М(Х) = 0. Этот
результат можно получить сразу, если
принять во внимание, что кривая
распределения симметрична относительно
прямой х = 0. Случайная
величина Х в интервале (2, 4) задана
плотностью распределения f(x)= Случайная
величина Х в интервале (3, 5) задана
плотностью распределения f(x)= Решение.
Представим плотность распределения в
виде
Случайная
величина Х в интервале (-1, 1) задана
плотностью распределения
3. Непрерывные случайные величины.
Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность
чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал.
Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом
процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х)
. Однако их можно
задать с помощью функции распределения вероятностей F(х)
. Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной
величины:
Таким образом, и здесь функция F(х)
определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х
равно
вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х
.
Замечание.
Как мы знаем, если событие невозможно, то вероятность его наступления равна нулю. При
классическом определении вероятности, когда число исходов испытания конечно, имеет место и обратное предложение: если вероятность
события равна нулю, то событие невозможно, так как в этом случае ему не благоприятствует ни один из исходов испытания. В случае
непрерывной случайной величины число возможных ее значений бесконечно. Вероятность того, что эта величина примет какое-либо конкретное
значение x 1
как мы видели, равна нулю. Однако отсюда не следует, что это событие невозможно, так как в результате
испытания случайная величина может, в частности, принять значение x 1
. Поэтому в случае непрерывной случайной величины
имеет смысл говорить о вероятности попадания случайной величины в интервал, а не о вероятности того, что она примет какое-то конкретное значение.
Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x)
. Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b
]. Определение.
Математическим ожиданием
непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле: При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится. Определение.
Дисперсией
непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула: Определение.
Средним квадратичным отклонением
называется квадратный корень из дисперсии. Определение.
Модой
М 0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум. Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным
или многомодальным
. Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным
. Определение.
Медианой
M D случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины. Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам. Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием. Определение.
Начальным моментом
порядка k
случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х k
. Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию. Определение.
Центральным моментом
порядка k
случайной величины Х называется математическое ожидание величины Для дискретной случайной величины: . Для непрерывной случайной величины: . Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения. Определение.
Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии
. Определение.
Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом
. Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты: Абсолютный начальный момент: . Абсолютный центральный момент: . Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением
. Пример.
Для рассмотренного выше примера определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Пример.
В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию. Т.к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность появления или непоявления события в другом опыте). Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и равна Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз. Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого из этих событий. 1) Белый шар не появился вовсе: 2) Белый шар появился один раз: 3) Белый шар появиться два раза: . (НСВ
)
Непрерывной
называют случайную величину, возможные значения которой непрерывно занимают некоторый интервал. Если дискретная величина может быть задана перечнем всех её возможных значений и их вероятностей, то непрерывную случайную величину, возможные значения которой сплошь занимают некоторый интервал (а
, b
) задать перечнем всех возможных значений невозможно. Пусть х
– действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х
примет значение, меньшее х
, т.е. вероятность события Х
< х
, обозначим через F
(x
). Если х
изменяется, то, конечно, изменяется и F
(x
), т.е. F
(x
) – функция от х
. Функцией распределения
называют функцию F
(x
), определяющую вероятность того, что случайная величина Х
в результате испытания примет значение, меньшее х
, т.е. F
(x
) = Р
(Х
< х
). Геометрически это равенство можно истолковать так: F
(x
) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х
. Свойства функции распределения.
1 0 . Значения функции распределения принадлежат отрезку : 0 ≤ F
(x
) ≤ 1. 2 0 . F
(x
) – неубывающая функция, т.е. F
(x
2) ≥ F
(x
1), если x
2 > x
1 . Следствие 1.
Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключённое в интервале (а
, b
), равна приращению функции распределения на этом интервале: Р
(а
< X
< b
) = F
(b
) − F
(a
). Пример.
Случайная величина Х
задана функцией распределения F
(x
) = Случайна величина Х
0, 2). Согласно следствию 1, имеем: Р
(0 < X
<2) = F
(2) − F
(0). Так как на интервале (0, 2), по условию, F
(x
) = + , то F
(2) − F
(0) = (+ ) − (+ ) = . Таким образом, Р
(0 < X
<2) = . Следствие 2.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х
примет одно определённое значение, равна нулю. 3 0 . Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а
, b
), то 1). F
(x
) = 0 при х
≤ а
; 2). F
(x
) = 1 при х
≥ b
. Следствие.
Если возможные значения НСВ
расположены на всей числовой оси ОХ
(−∞, +∞), то справедливы предельные соотношения: Рассмотренные свойства позволяют представить общий вид графика функции распределения непрерывной случайной величины: Функцию распределения НСВ Х
часто называют интегральной функцией
. Дискретная случайная величина тоже имеет функцию распределения: График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид. Пример.
ДСВ Х
задана законом распределения Х
1 4 8 Р
0,3 0,1 0,6. Найти её функцию распределения и построить график. Если х
≤ 1, то F
(x
) = 0. Если 1 < x
≤ 4, то F
(x
) = р
1 =0,3. Если 4 < x
≤ 8, то F
(x
) = р
1 + р
2 = 0,3 + 0,1 = 0,4. Если х
> 8, то F
(x
) = 1 (или F
(x
) = 0,3 + 0,1 + 0,6 = 1). Итак, функция распределения заданной ДСВ Х
: График искомой функции распределения: НСВ
можно задать плотностью распределения вероятностей. Плотностью распределения вероятностей НСВ Х
называют функцию f
(x
) – первую производную от функции распределения F
(x
): f
(x
) = . Функция распределения является первообразной для плотности распределения. Плотность распределения ещё называют: плотность вероятности, дифференциальной функцией
. График плотности распределения называют кривой распределения
. Теорема 1.
Вероятность того, что НСВ Х
примет значение, принадлежащее интервалу (а
, b
), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а
до b
: Р
(а
< X
< b
) = . ○ Р
(а
< X
< b
) = F
(b
) −F
(a
) == . ● Геометрический смысл: вероятность того, что НСВ
примет значение, принадлежащее интервалу (а
, b
), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ
, кривой распределения f
(x
) и прямыми х
=а
и х
=b
. Пример.
Задана плотность вероятности НСВ Х
f
(x
) = Найти вероятность того, что в результате испытания Х
примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1). Р
(0,5 < X
< 1) = 2= = 1 – 0,25 = 0,75. Свойства плотности распределения
: 1 0 . Плотность распределения - неотрицательная функция: f
(x
) ≥ 0. 2 0 . Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от −∞ до +∞ равен единице: В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а
, b
), то Пусть f
(x
) – плотность распределения, F
(х
) – функция распределения, тогда F
(х
) = . ○ F
(x
) = Р
(Х
< х
) = Р
(−∞ < X
< х
) = = , т.е. F
(х
) = . ● Пример (*).
Найти функцию распределения по данной плотности распределения: f
(x
) = Построить график найденной функции. Известно, что F
(х
) = . Если, х
≤ а
, то F
(х
) = = == 0; Если а
< x
≤ b
, то F
(х
) = =+ = = . Если х
> b
, то F
(х
) = =+ + = = 1. F
(x
) = График искомой функции: Числовые характеристики НСВ
Математическим ожиданием НСВ Х
, возможные значения которой принадлежат отрезку [a
, b
], называют определённый интеграл М
(Х
) = . Если все возможные значения принадлежат всей оси ОХ
, то М
(Х
) = . Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно. Дисперсией НСВ Х
называют математическое ожидание квадрата её отклонения. Если возможные значения Х
принадлежат отрезку [a
, b
], то D
(X
) = ; Если возможные значения Х
принадлежат всей числовой оси (−∞; +∞), то D
(X
) = . Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы: D
(X
) = − [M
(X
)] 2 , D
(X
) = − [M
(X
)] 2 . Среднее квадратическое отклонение НСВ Х
определяется равенством (Х
) = . Замечание.
Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ
сохраняются и для НСВ Х
. Пример.
Найти М
(Х
) и D
(X
) случайной величины Х
, заданной функцией распределения F
(x
) = Найдём плотность распределения f
(x
) = = Найдём М
(Х
): М
(Х
) = = = = . Найдём D
(X
): D
(X
) = − [M
(X
)] 2 = − = − = . Пример (**).
Найти М
(Х
), D
(X
) и (X
) случайной величины Х
, если f
(x
) = Найдём М
(Х
): М
(Х
) = = =∙= . Найдём D
(X
): D
(X
) =− [M
(X
)] 2 =− = ∙−=. Найдем (Х
): (Х
) = = = . Теоретические моменты НСВ.
Начальный теоретический момент порядка k НСВ Х
определяется равенством ν k
= . Центральный теоретический момент порядка k НСВ Х
определяется равенством μ k
= . В частности, если все возможные значения Х
принадлежат интервалу (a
, b
), то ν k
= , μ k
= . Очевидно: k
= 1: ν
1 = M
(X
), μ
1 = 0; k
= 2: μ
2 = D
(X
). Связь между ν k
и μ k
как и у ДСВ
: μ
2 = ν
2 − ν
1 2 ; μ
3 = ν
3 − 3ν
2 ν
1 + 2ν
1 3 ; μ
4 = ν
4 − 4ν
3 ν
1 + 6 ν
2 ν
1 2 − 3ν
1 4 . Законы распределения НСВ
Плотности распределения НСВ
называют также законами распределения
. Закон равномерного распределения.
Распределение вероятностей называют равномерным
, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение. Плотность вероятности равномерного распределения: f
(x
) = Её график: Из примера (*) следует, что функция распределения равномерного распределения имеет вид: F
(x
) = Её график: Из примера (**) следуют числовые характеристики равномерного распределения: М
(Х
) = , D
(X
) = , (Х
) = . Пример.
Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3-х минут. Случайная величина Х
– время ожидания автобуса подошедшим пассажиром. Её возможные значения принадлежат интервалу (0; 5). Так как Х
– равномерно распределённая величина, то плотность вероятности: f
(x
) = = = на интервале (0; 5). Чтобы пассажир ожидал очередной автобус менее 3-х минут, он должен подойти к остановке в промежуток времени от 2 до 5 минут до прихода следующего автобуса: Следовательно, Р
(2 < X
< 5) == = = 0,6. Закон нормального распределения.
Нормальным
называют распределение вероятностей НСВ Х
f
(x
) = . Нормальное распределение определяется двумя параметрами: а
и σ
. Числовые характеристики: М
(Х
) == = = = = + = а
, т.к. первый интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечётная, второй интеграл – это интеграл Пуассона, который равен . Таким образом, М
(Х
) = а
, т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а
. Учитывая, что М
(Х
) = а
, получим D
(X
) = = = Таким образом, D
(X
) = . Следовательно, (Х
) = = = , т.е. среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру . Общими
называют нормальное распределение с произвольными параметрами а
и (> 0). Нормированным
называют нормальное распределение с параметрами а
= 0 и = 1. Например, если Х
– нормальная величина с параметрами а
и , то U
= − нормированная нормальная величина, причём М
(U
) = 0, (U
) = 1. Плотность нормированного распределения: φ
(x
) = . Функция F
(x
) общего нормального распределения: F
(x
) = , а функция нормированного распределения: F
0 (x
) = . График плотности нормального распределения называют нормальной кривой
(кривой Гаусса
): Изменение параметра а
ведет к сдвигу кривой вдоль оси ОХ
: вправо, если а
возрастает, и влево, если а
убывает. Изменение параметра ведет: с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится пологой; при убывании нормальная кривая становится более “островершинной” и растягивается в положительном направлении оси OY
: Если а
= 0, а = 1, то нормальную кривую φ
(x
) = называют нормированной
. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.
Пусть случайная величина Х
распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что Х
Р
(α
< X
< β
) = = = Используя функцию Лапласа Φ
(х
) = , Окончательно получим Р
(α
< X
< β
) = Φ
() − Φ
(). Пример.
Случайная величина Х
распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х
По условию, α
=10, β
=50, а
=30, =1. Р
(10< X
< 50) = Φ
() − Φ
() = 2Φ
(2). По таблице: Φ
(2) = 0,4772. Отсюда Р
(10< X
< 50) = 2∙0,4772 = 0,9544. Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределённой случайной величины Х
по абсолютной величине меньше заданного δ
> 0, т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства | X
− a
| < δ
: Р
(| X
− a
| < δ
) = Р
(a − δ
< X
< a
+ δ
) = Φ
() − Φ
() = = Φ
() − Φ
() = 2Φ
(). В частности, при а
= 0: Р
(| X
| < δ
) = 2Φ
(). Пример.
Случайная величина Х
распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше 3. По условию, δ
= 3, а
= 20, =10. Тогда Р
(| X
− 20| < 3) = 2 Φ
() = 2Φ
(0,3). По таблице: Φ
(0,3) = 0,1179. Следовательно, Р
(| X
− 20| < 3) = 0,2358. Правило трёх сигм.
Известно, что Р
(| X
− a
| < δ
) = 2Φ
(). Пусть δ
= t
, тогда Р
(| X
− a
| < t
) = 2Φ
(t
). Если t
= 3 и, следовательно, t
= 3, то Р
(| X
− a
| < 3) = 2Φ
(3) = 2∙ 0,49865 = 0,9973, т.е. получили практически достоверное событие. Суть правила трёх сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. На практике правило трёх сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестен, но условие, указанное в приведённом правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально. Центральная предельная теорема Ляпунова.
Если случайная величина Х
представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х
имеет распределение, близкое к нормальному. Пример.
□ Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближённое значение измеряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную “частную ошибку”. Однако, поскольку число этих факторов очень велико, то их совокупное действие порождает уже заметную “суммарную ошибку”. Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедливость такого заключения. ■ Запишем условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет распределение, близкое к нормальному. Пусть Х
1 , Х
2 , …, Х п
− последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию: М
(Х k
) = a k
, D
(Х k
) = . Введём обозначения: S n
= , A n
= , B n
= . Обозначим функцию распределения нормированной суммы через F п
(x
) = P
(< x
). Говорят, что к последовательности Х
1 , Х
2 , …, Х п
применима центральная предельная теорема, если при любых х
функция распределения нормированной суммы при п
→ ∞ стремится к нормальной функции распределения: Закон показательного распределения.
Показательным
(экспоненциальным
) называют распределение вероятностей НСВ Х
, которое описывается плотностью f
(x
) = где λ
– постоянная положительная величина. Показательное распределение определяется одним параметром λ
. График функции f
(x
): Найдём функцию распределения: если, х
≤ 0, то F
(х
) = = == 0; если х
≥ 0, то F
(х
) == += λ∙
= 1 − е −λх
. Итак, функция распределения имеет вид: F
(x
) = График искомой функции: Числовые характеристики: М
(Х
) == λ
= = . Итак, М
(Х
) = . D
(X
) =− [M
(X
)] 2 = λ
− = = . Итак, D
(X
) = . (Х
) = = , т.е. (Х
) = . Получили, что М
(Х
) = (Х
) = . Пример.
НСВ Х
f
(x
) = 5е
−5х
при х
≥ 0; f
(x
) = 0 при х
< 0. Найти М
(Х
), D
(X
), (Х
). По условию, λ
= 5. Следовательно, М
(Х
) = (Х
) = = = 0,2; D
(X
) = = = 0,04. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределённой случайной величины.
Пусть случайная величина Х
распределена по показательному закону. Тогда вероятность того, что Х
примет значение из интервала ), равна Р
(а
< X
< b
) = F
(b
) − F
(a
) = (1 − е −λ b
) − (1 − е −λ a
) = е −λ a
− е −λ b
. Пример.
НСВ Х
распределена по показательному закону f
(x
) = 2е
−2х
при х
≥ 0; f
(x
) = 0 при х
< 0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х
примет значение из интервала ). По условию, λ
= 2. Тогда Р
(0,3 < X
< 1) = е −
2∙0,3 − е −
2∙1 = 0,54881− 0,13534 ≈ 0,41. Показательное распределение широко применяется в приложениях, в частности в теории надёжности. Будем называть элементом
некоторое устройство независимо от того, “простое” оно или “сложное”. Пусть элемент начинает работать в момент времени t
0 = 0, а по истечении времени t
происходит отказ. Обозначим через Т
непрерывную случайную величину – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее t
, то, следовательно, за время длительностью t
наступит отказ. Таким образом, функция распределения F
(t
) = Р
(T
< t
) определяет вероятность отказа за время длительностью t
. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью t
, т.е. вероятность противоположного события T
> t
, равна R
(t
) = Р
(T
> t
) = 1− F
(t
). Функцией надёжности R
(t
) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t
: R
(t
) = Р
(T
> t
). Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого F
(t
) = 1 − е −λ t
. Следовательно, функция надёжности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид: R
(t
) = 1− F
(t
) = 1− (1 − е −λ t
) = е −λ t
. Показательным законом надёжности
называют функцию надёжности, определяемую равенством R
(t
) = е −λ t
, где λ
– интенсивность отказов. Пример.
Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f
(t
) = 0,02е
−0,02 t
при t
≥0 (t
– время). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов. По условию, постоянная интенсивность отказов λ
= 0,02. Тогда R
(100) = е −
0,02∙100 = е −
2 = 0,13534. Показательный закон надёжности обладает важным свойством: вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t
не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t
(при заданной интенсивности отказов λ
). Другими словами, в случае показательного закона надёжности безотказная работа элемента “в прошлом” не сказывается на величине вероятности его безотказной работы “в ближайшем будущем”. Указанным свойством обладает только показательное распределение. Поэтому, если на практике изучаемая случайная величина этим свойством обладает, то она распределена по показательному закону. Закон больших чисел
Неравенство Чебышева.
Вероятность того, что отклонение случайной величины Х
от её математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε
, не меньше, чем 1 – : Р
(|X
– M
(X
)| < ε
) ≥ 1 – . Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Теоретическое значение неравенства Чебышева весьма велико. Неравенство Чебышева справедливо для ДСВ
и НСВ
. Пример.
Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т
равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время Т
окажется меньше двух. Пусть Х
– число отказавших элементов за время Т
. Среднее число отказов – это математическое ожидание, т.е. М
(Х
). М
(Х
) = пр
= 10∙0,05 = 0,5; D
(X
) = npq
=10∙0,05∙0,95 = 0,475. Воспользуемся неравенством Чебышева: Р
(|X
– M
(X
)| < ε
) ≥ 1 – . По условию, ε
= 2. Тогда Р
(|X
– 0,5| < 2) ≥ 1 – = 0,88, Р
(|X
– 0,5| < 2) ≥ 0,88. Теорема Чебышева.
Если Х
1 , Х
2 , …, Х п
– попарно независимые случайные величины, причём дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С
), то, как бы мало ни было положительное число ε
, вероятность неравенства |− | < ε
Будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико или, другими словами, − | < ε
) = 1. Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым. Если М
(Х
1) = М
(Х
2) = …= М
(Х п
) = а
, то, в условиях теоремы, будет иметь место равенство − а
| < ε
) = 1. Сущность теоремы Чебышева такова: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения далёкие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения близкие к определенному постоянному числу (или к числу а
в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительны разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало. Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое. Для практики теорема Чебышева имеет неоценимое значение: измерение некоторой физической величины, качества, например, зерна, хлопка и другой продукции и т.д. Пример.
Х
1 , Х
2 , …, Х п
задана законом распределения Х п
−пα
0 пα
Р
1 − Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева? Для того, чтобы к последовательности случайных величин была применима теорема Чебышева, достаточно, чтобы эти величины: 1. были попарно независимыми; 2). имели конечные математические ожидания; 3). имели равномерно ограниченные дисперсии. 1). Так как случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы. 2). М
(Х п
) = −пα
∙+ 0∙(1 − ) +
Теорема Бернулли.
Если в каждом из п
независимых испытаний вероятность р
появления события А
постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р
по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико. Другими словами, если ε
– сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство − р
| < ε
) = 1. Теорема Бернулли утверждает, что при п
→ ∞ относительная частота стремится по вероятности
к р.
Коротко теорему Бернулли можно записать в виде: Замечание.
Последовательность случайных величин Х
1 , Х
2 , … сходится по вероятности
к случайной величине Х
, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε
вероятность неравенства | Х n
– Х
| < ε
при п
→ ∞ стремится к единице. Теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности. Цепи Маркова
Цепью Маркова
называют последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из k
несовместных событий А
1 , А
2 ,…, А k
полной группы, причём условная вероятность р ij
(S
) того, что в S
-м испытании наступит событие А j
(j
= 1, 2,…, k
), при условии, что в (S
– 1)-м испытании наступило событий А i
(i
= 1, 2,…, k
), не зависит от результатов предшествующих испытаний. Пример.
□ Если последовательность испытаний образует цепь Маркова и полная группа состоит из 4 несовместных событий А
1 , А
2 , А
3 , А
4 , причём известно, что в 6-м испытании появилось событие А
2 , то условная вероятность того, что 7-м испытании наступит событие А
4 , не зависит от того, какие события появились в 1-м, 2-м,…, 5-м испытаниях. ■ Ранее рассмотренные независимые испытания являются частным случаем цепи Маркова. Действительно, если испытания независимы, то появление некоторого определенного события в любом испытании не зависит от результатов ранее произведенных испытаний. Отсюда следует, что понятие цепи Маркова является обобщением понятия независимых испытаний. Запишем определение цепи Маркова для случайных величин. Последовательность случайных величин Х t
, t
= 0, 1, 2, …, называется цепью Маркова
с состояниями А
= { 1, 2, …, N
}, если , t
= 0, 1, 2, …, и при любых ( п,
.,
Распределение вероятностей Х t
в произвольный момент времени t
можно найти, воспользовавшись формулой полной вероятности Понятия математического ожидания М
(Х
) и дисперсии D
(X
), введенные ранее для дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины. · Математическое ожидание М
(Х
)
непрерывной случайной величины Х определяется равенством: при условии, что этот интеграл сходится. · Дисперсия D
(X
)
непрерывной случайной величины Х
определяется равенством:
· Среднее квадратическое отклонение
σ(Х
)
непрерывной случайной величины определяется равенством:
Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных. Задача 5.3.
Случайная величина Х
задана дифференциальной функцией f
(x
): Найти M
(X
), D
(X
),
σ(Х
),
а также P
(1 < х
< 5). Решение:
M
(X
)=
= +
=
8/9 0+9/6 4/6=31/18, D
(X
)=
=
=
/
P
1
=
Задачи
5.1.
Х
f
(x
),
а также Р
(‒1/2 < Х
< 1/2). 5.2.
Непрерывная случайная величина Х
задана функцией распределения: Найти дифференциальную функцию распределения f
(x
),
а также Р
(2π /9 < Х
< π /2). 5.3.
Непрерывная случайная величина Х
Найти: а) число с
; б) М
(Х
), D
(X
).
5.4.
Непрерывная случайная величина Х
задана плотностью распределения: Найти: а) число с
; б) М
(Х
), D
(X
).
5.5.
Х
: Найти: а) F
(х
) и построить ее график; б) M
(X
), D
(X
),
σ(Х
);
в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х
примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4). 5.6.
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х
: Найти: а) F
(х
) и построить ее график; б) M
(X
), D
(X
),
σ(Х
);
в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х
примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку . 5.7.
Функция f
(х
) задана в виде: с
Х
; б) функцию распределения F
(x
).
5.8.
Функция f
(x
) задана в виде: Найти: а) значение постоянной с
, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х
; б) функцию распределения F
(x
).
5.9.
Случайная величина Х
, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F
(х
)=
Х
примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7. 5.10.
Случайная величина Х
, сосредоточенная на интервале (-1;4), задана функцией распределения F
(х
)=
. Найти вероятность того, что случайная величина Х
примет значение: а) меньше 2, б) меньше 4. 5.11.
Найти: а) число с
; б) М
(Х
);
в) вероятность Р
(Х > М
(Х
)).
5.12.
Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения: Найти: а) М
(Х
);
б) вероятность Р
(Х ≤ М
(Х
)).
5.13.
Распределение Ремя задается плотностью вероятности: Доказать, что f
(x
) действительно является плотностью распределения вероятностей. 5.14.
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х
: Найти число с
. 5.15.
Случайная величина Х
распределена по закону Симпсона (равнобедренного треугольника) на отрезке [-2;2] (рис. 5.4). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f
(x
) на всей числовой оси. Рис. 5.4 Рис. 5.5 5.16.
Случайная величина Х
распределена по закону "прямоугольного треугольника" в интервале (0;4) (рис. 5.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f
(x
) на всей числовой оси. Ответы
P
(-1/2<X
<1/2)=2/3. P
(2π /9<Х
< π /2)=1/2. 5.3.
а) с
=1/6, б) М
(Х
)=3 , в) D
(X
)=26/81. 5.4.
а) с
=3/2, б) М
(Х
)=3/5, в) D
(X
)=12/175. б) M
(X
)=
3 , D
(X
)=
2/9, σ(Х
)=
/3. б) M
(X
)=2 , D
(X
)=
3 , σ(Х
)=
1,893. 5.7.
а) с = ; б) 5.8.
а) с
=1/2; б) 5.9.
а)1/4; б) 0. 5.10.
а)3/5; б) 1. 5.11.
а) с
= 2; б) М
(Х
)=
2; в) 1-ln
2 2 ≈ 0,5185. 5.12.
а) М
(Х
)=
π /2 ; б) 1/2
Отсюда
,
или.
.
Отсюда
,
или.
При
x=0 производная
не
существует.
в
интервале
;
вне этого интервала
.
Найти вероятность того, что X
примет значение, принадлежащее интервалу
.
.
Следовательно, искомая вероятность
.
. (*)
.
.
. (*)
.
.
. (*)
(**)
Потребуем,
чтобы это условие выполнялось для
заданной функции:
.
. (*)
(**)
ешение.
Используем формулу
ешение.
Используем формулу
=
4/3
(x)
= ; вне этого интервала ƒ(x)
= 0. Найти математическое ожидание
величины X.
ешение.
Используем формулу
.
Отсюда видно, что при х=3 плотность
распределения достигает максимума;
следовательно,
.
Кривая распределения симметрична
относительно прямой х=3, поэтому
и
.
;
вне этого интервала f(x)=0. Найти моду,
математическое ожидание и медиану
величины Х.
.
Отсюда видно, что при х=3 плотность
распределения достигает максимума;
следовательно,
.
Кривая распределения симметрична
относительно прямой х=4, поэтому
и
.
;
вне этого интервала f(x)=0. Найти: а) моду;
б) медиану Х.
Формула () и свойства 1° и 2° справедливы для функции распределения любой случайной величины. Доказательство проводится аналогично случаю дискретной величины.
Случайная величина называется непрерывной
, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция* , удовлетворяющая для любых значений x
равенству
Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств
равна площади криволинейной трапеции с основанием
, ограниченной сверху кривой (рис. 6).
Так как , а на основании формулы ()
, то
Заметим, что для непрерывной случайной величины функция распределения F(х)
непрерывна в любой точке х
, где функция непрерывна. Это следует из того, что F(х)
в этих точках дифференцируема.
На основании формулы (), полагая x 1 =x
, , имеем
В силу непрерывности функции F(х)
получим, что
Следовательно
Таким образом, вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю
.
Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств
, , ,
Имеют одинаковую вероятность, т.е.
В самом деле, например,
так как
Так, например, при изготовлении валика нас не интересует вероятность того, что его диаметр будет равен номиналу.
Для нас важна вероятность того, что диаметр валика не выходит из поля допуска.
